Considere a equação y^prime prime+2 b y^prime+y=0, b é uma constante real.
a) Quais são as possíveis soluções gerais da equação acima em função do valor de b?
b) Para quais valores de b temos lim t infty y(t)=0 independente das condições iniciais?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2b,y' + y = 0,
onde b é uma constante real.
O conteúdo necessário é a técnica da equação característica para ODEs lineares homogêneas de segunda ordem; além disso, para a parte (b) vamos usar o critério de estabilidade (raízes com parte real negativa).

Passo 2

Associamos a equação à equação característica
lambda^2 + 2b,lambda + 1 = 0
As raízes dessa equação são
lambda = -b pm raizb^2 - 1

Passo 3

Se b^2 > 1, então raizb^2-1 é real e as raízes são distintas. A solução geral é
y(t) = C1,e^(-b + raizb^2-1),t ;+; C2,e^(-b - raizb^2-1),t,
com constantes C1 e C2.

Passo 4

Se b^2 = 1, há raiz dupla lambda=-b. A solução geral fica
y(t) = l(C1 + C2,tr),e^-b,t

Passo 5

Se b^2 < 1, as raízes são complexas conjugadas lambda=-bpm iraiz1-b^2. Definindo omega = raiz1-b^2, a solução geral é
y(t) = e^-b,tl(Acos(omega t) + Bsin(omega t)r),
com constantes A e B.

Passo 6

Para ter limttoinftyy(t)=0 para toda condição inicial, é preciso que todas as exponenciais decayam, ou seja, que as partes reais das raízes sejam negativas. Como em todos os casos a parte real é -b, exigimos
-b < 0 Longrightarrow b > 0

Resposta

(a) As soluções gerais são, conforme o discriminante b^2-1:
,b^2>1:
y(t) = C1,e^(-b + raizb^2-1),t + C2,e^(-b - raizb^2-1),t
,b^2=1:
y(t) = l(C1 + C2,tr),e^-b,t
,b^2<1:
y(t) = e^-b,tl(Acos(raiz1-b^2,t) + Bsin(raiz1-b^2,t)r)
(b) Temos limttoinftyy(t)=0 para todos os dados iniciais se, e somente se,
b > 0

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