Considere a equação
, b é uma constante real.
a) Quais são as possíveis soluções gerais da equação acima em função do valor de b?
b) Para quais valores de b temos
independente das condições iniciais?
a) Quais são as possíveis soluções gerais da equação acima em função do valor de b?
b) Para quais valores de b temos
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
é uma constante real.
O conteúdo necessário é a técnica da equação característica para ODEs lineares homogêneas de segunda ordem; além disso, para a parte (b) vamos usar o critério de estabilidade (raízes com parte real negativa).
O conteúdo necessário é a técnica da equação característica para ODEs lineares homogêneas de segunda ordem; além disso, para a parte (b) vamos usar o critério de estabilidade (raízes com parte real negativa).
Passo 2
Associamos a equação à equação característica
As raízes dessa equação são
Passo 3
Se
, então
é real e as raízes são distintas. A solução geral é
com constantes
e
.
Passo 4
Se
, há raiz dupla
. A solução geral fica
Passo 5
Se
, as raízes são complexas conjugadas
. Definindo
, a solução geral é
com constantes
e
.
Passo 6
Para ter
para toda condição inicial, é preciso que todas as exponenciais decayam, ou seja, que as partes reais das raízes sejam negativas. Como em todos os casos a parte real é
, exigimos
Resposta
(a) As soluções gerais são, conforme o discriminante
:
(b) Temos
para todos os dados iniciais se, e somente se,