Determine a solução geral de:
y ' ^prime+9 y=9 sec ^3(3 x), 0<x<pi / 6

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de 1ª ordem
y'+9y=9sec^3(3x),
para 0<x<pi/6.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Identificamos P(x)=9 e Q(x)=9sec^3(3x). O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral 9,dx=e^9x

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
e^9xy' +9e^9xy = l(e^9xyr)' =9e^9xsec^3(3x)

Passo 4

Integramos ambos os lados:
e^9xy=integral 9e^9xsec^3(3x),dx +C
Para simplificar a integral, faça a mudança de variável u=3x, de modo que du=3,dx e e^9x=e^3u. Então
integral 9e^9xsec^3(3x),dx =3integral e^3usec^3(u),du
Logo
y(x) =e^-9xl(C +3integral e^3usec^3(u),dur),
onde a integral em u é qualquer antiderivada de e^3usec^3(u).

Resposta

boxedy(x)=e^-9xl(C +3!integral e^3usec^3(u),dur), u=3x,;CinR

Exercícios relacionados