Considere a equação
. Para quais valores de
a solução
tende a zero quando
, independente das condições iniciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ + 2b,y’ + y = 0 $. Nossa missão é encontrar para quais valores de $ b $ a solução $ y(t) $ vai tendendo a zero quando $ t $ vai para mais infinito, não importa quais sejam as condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes e analisar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a chamada equação característica da nossa equação diferencial. Para uma equação da forma $ y’’ + a,y’ + b,y = 0 $, a equação característica é dada por $ r^2 + a,r + b = 0 $. No nosso caso, temos:
Essa equação vai nos ajudar a encontrar as raízes que determinam o comportamento da solução $ y(t) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante da equação característica para descobrir que tipo de raízes temos. O discriminante $ \Delta $ é dado por:
O valor de $ \Delta $ vai nos dizer se as raízes são reais e distintas, reais e iguais, ou complexas.
Passo 4
Vamos analisar os casos com base no discriminante:
- Se $ \Delta > 0 $: Temos duas raízes reais e distintas.
- Se $ \Delta = 0 $: Temos duas raízes reais e iguais.
- Se $ \Delta < 0 $: Temos duas raízes complexas conjugadas.
Esse passo é importante porque o tipo de raízes influencia diretamente o comportamento da solução $ y(t) $.
Passo 5
Nosso objetivo é que $ y(t) $ tenda a zero quando $ t $ vai para mais infinito. Para isso, precisamos que as soluções da equação característica resultem em termos que diminuem com o tempo. Vamos ver o que cada caso implica:
-
Raízes Reais e Distintas ($ \Delta > 0 $):
As soluções serão da forma $ y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} $. Para que $ y(t) $ tenda a zero, os expoentes $ r_1 $ e $ r_2 $ precisam ser negativos. -
Raízes Reais e Iguais ($ \Delta = 0 $):
A solução será $ y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{r t} $. Aqui, para $ y(t) $ tender a zero, o expoente $ r $ também deve ser negativo. -
Raízes Complexas ($ \Delta < 0 $):
As soluções serão da forma $ y(t) = e^{\alpha t} (C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t)) $. Para que $ y(t) $ tenda a zero, o termo exponencial $ e^{\alpha t} $ deve diminuir, ou seja, $ \alpha $ deve ser negativo.
Passo 6
Vamos agora determinar para quais valores de $ b $ essas condições são atendidas.
Primeiro, observamos que a posição das raízes depende do sinal de $ -2b $ (coeficiente de $ y’ $). Para que as raízes tenham partes reais negativas, o coeficiente $ a = 2b $ na equação característica $ r^2 + 2b r + 1 = 0 $ deve satisfazer certas condições.
Vamos reorganizar a equação característica:
As raízes são dadas por:
Para que as partes reais das raízes sejam negativas:
-
Se $ b > 0 $ e $ b^2 > 1 $ (ou seja, $ |b| > 1 $), então:
- As raízes reais serão $ -b \pm $ algo, e como $ b > 1 $, ambas as raízes serão negativas.
-
Se $ b > 0 $ e $ b^2 < 1 $ (ou seja, $ |b| < 1 $), as raízes serão complexas com parte real $ -b $, que é negativa.
-
Se $ b \leq 0 $, a parte real das raízes não será necessariamente negativa, podendo levar a soluções que não tendem a zero.
Resposta
Portanto, para que a solução $ y(t) $ tenda a zero quando $ t $ vai para mais infinito, independente das condições iniciais, o valor de $ b $ deve ser positivo. Assim, todos os valores de $ b $ positivos garantem que $ y(t) $ tende a zero conforme $ t \rightarrow +\infty $.