Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor compreender a teoria.
(j) A série de termo geral an=1n^2+n-ln (nn+1) é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se a série de termo geral é convergente ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que estudamos em cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os dois termos que compõem . O primeiro termo é e o segundo é . Vamos analisar cada um separadamente.

Passo 3

O termo pode ser simplificado fatorando o denominador: . Sabemos que a série é convergente porque é uma série telescópica que soma a um número finito.

Passo 4

Agora, vamos analisar ln(nn+1) = ln(n) - ln(n+1) . Podemos reescrever isso usando propriedades dos logaritmos:
Isso também forma uma série telescópica, já que termos consecutivos se cancelam, levando a uma soma finita.

Passo 5

Agora, juntando os dois termos, temos:
an = 1n(n+1) - (ln(n) - ln(n+1))
A série completa será a soma desses termos para de 1 até o infinito.

Passo 6

Como ambas as séries individuais e são convergentes, a diferença entre elas também será convergente, pois a convergência é preservada por operações lineares como adição e subtração.

Resposta

Verdadeiro. A série é convergente.

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