Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor compreender a teoria.
(j) A série de termo geral
é convergente.
(j) A série de termo geral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se a série de termo geral
é convergente ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que estudamos em cálculo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os dois termos que compõem
. O primeiro termo é
e o segundo é
. Vamos analisar cada um separadamente.
Passo 3
O termo
pode ser simplificado fatorando o denominador:
. Sabemos que a série
é convergente porque é uma série telescópica que soma a um número finito.
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Podemos reescrever isso usando propriedades dos logaritmos:
Isso também forma uma série telescópica, já que termos consecutivos se cancelam, levando a uma soma finita.
Passo 5
Agora, juntando os dois termos, temos:
A série completa será a soma desses termos para
de 1 até o infinito.
Passo 6
Como ambas as séries individuais
e
são convergentes, a diferença entre elas também será convergente, pois a convergência é preservada por operações lineares como adição e subtração.
Resposta
Verdadeiro. A série
é convergente.