Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor compreender a teoria.
(e) Se sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn são divergentes, com an >= 0 e bn >= 0, forall n, então sumn=1^infty(an+bn) diverge.

Passo 1

O enunciado pergunta se a soma de duas séries divergentes com termos não negativos também diverge. O conteúdo é séries numéricas de termos positivos e vamos usar a definição de divergência (limite dos somatórios parciais vai a +∞) e a propriedade de monotonicidade desses somatórios.

Passo 2

Vamos chamar de SN=sumn=1^N an e TN=sumn=1^N bn. Como an>=0 e bn>=0, as sequências (SN) e (TN) são não decrescentes. A hipótese diz que ambas vão para +infty quando Ntoinfty.

Passo 3

Considere o somatório parcial da série sumn=1^infty (an+bn):
UN=sumn=1^N (an+bn)=sumn=1^N an+sumn=1^N bn=SN+TN
Como SNto+infty e TNto+infty, temos UN=SN+TNto+infty. Logo a série sum(an+bn) diverge.

Passo 4

Em outras palavras, poderíamos usar o teste de comparação: como 0<= an<= an+bn, se sum(an+bn) fosse convergente, então sum an também seria, o que contradiz a hipótese.

Resposta

V

Exercícios relacionados