- Se
é uma sequência de termos positivos e
, prove que a série
converge se
e diverge se
.
Passo 1
Neste exercício temos uma sequência de termos positivos
com
. O que precisamos mostrar é que a série
converge se
e diverge se
. Vamos usar comparações com a p-série
.
Passo 2
O teste de comparação em limite diz que, se
,
para todo
e
então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem.
Passo 3
Tomando
, calculamos a razão:
Pelas hipóteses,
Logo, pelo teste de comparação em limite, a série
converge ou diverge juntamente com
.
Passo 4
Sabemos que a p-série
converge se e somente se
e diverge se
. Portanto, concluímos que
converge se
e diverge se
.
Resposta
A série
converge se
e diverge se
.