1. Se an é uma sequência de termos positivos e lim n infty n^p an=l>0, prove que a série sumn=1^infty an converge se p>1 e diverge se 0.

Passo 1

Neste exercício temos uma sequência de termos positivos an com limntoinfty n^p an = l > 0. O que precisamos mostrar é que a série sum an converge se p>1 e diverge se 0. Vamos usar comparações com a p-série sum 1/n^p.

Passo 2

O teste de comparação em limite diz que, se an>0, bn>0 para todo n e limntoinftyanbn=c>0, então as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem.

Passo 3

Tomando bn = 1/n^p, calculamos a razão: anbn = an cdot n^p Pelas hipóteses, limntoinfty an,n^p = l>0 Logo, pelo teste de comparação em limite, a série sum an converge ou diverge juntamente com sum 1/n^p.

Passo 4

Sabemos que a p-série sum 1/n^p converge se e somente se p>1 e diverge se 0. Portanto, concluímos que sum an converge se p>1 e diverge se 0.

Resposta

A série sumn=1^infty an converge se p>1 e diverge se 0.

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