lim x -4 x^2+3 x-42 x+8

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x -4 x^2+3 x-42 x+8. Esse exercício faz parte do conteúdo de limites em Cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como calcular limites de funções racionais e como simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = -4 diretamente na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
(-4)^2 + 3(-4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0
No denominador:
2(-4) + 8 = -8 + 8 = 0
A gente se depara com a forma 00, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^2 + 3x - 4. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -4 e somados dão 3. Esses números são 4 e -1.
Então:
x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador 2x + 8:
2x + 8 = 2(x + 4)

Passo 5

Substituímos as fatorações na expressão original:
(x + 4)(x - 1)2(x + 4)
Aqui, podemos simplificar o termo (x + 4) que está no numerador e no denominador:
(x - 1)2 (para x neq -4)

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x = -4:
(-4) - 12 = -52

Resposta

lim x -4 x^2+3 x-42 x+8 = -52

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