Considere a equação:
y^prime prime+y=cos (t)
b) Determine uma solução particular para a equação não homogênea (utilize o mmétodo que preferir).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y’’ + y = \cos(t) $. Essa é uma equação linear não homogênea de segunda ordem. O conteúdo aqui envolve encontrar uma solução particular para essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica bacana para encontrar soluções de equações diferenciais como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear não homogênea como essa, a solução geral é a soma da solução geral da homogênea mais a solução particular.
A equação homogênea associada é $ y’’ + y = 0 $. Vamos resolver essa primeiro.

Passo 3

A equação homogênea $ y’’ + y = 0 $ é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A gente resolve fazendo o equacionamento característico. Suponha que a solução seja da forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação:
y'' + y = 0
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, temos que $ r^2 + 1 = 0 $, ou seja, $ r = \pm i $.

Passo 4

Com as raízes $ r = \pm i $, a solução geral da equação homogênea é:
r = pm i
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação não homogênea $ y’’ + y = \cos(t) $.
Como o lado direito é $ \cos(t) $, que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa por $ t $ para evitar duplicação. Então, vamos supor:
yp(t)
onde $ A $ e $ B $ são coeficientes a serem determinados.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Primeira derivada:
yp(t)
Segunda derivada:
yp'(t) = A cos(t) + B sin(t) + t(-A sin(t) + B cos(t))

Passo 7

Substituímos $ y_p(t) $, $ y_p’(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação original $ y’’ + y = \cos(t) $:
yp(t)
Perceba que os termos com $ t $ se cancelam:
yp'(t)

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos $ \sin(t) $ e $ \cos(t) $:
Para $ \sin(t) $:
sin(t)
Para $ \cos(t) $:
cos(t)

Resposta

Portanto, uma solução particular para a equação $ y’’ + y = \cos(t) $ é:
y'' + y = cos(t)

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