Considere a equação:
b) Determine uma solução particular para a equação não homogênea (utilize o mmétodo que preferir).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y’’ + y = \cos(t) $. Essa é uma equação linear não homogênea de segunda ordem. O conteúdo aqui envolve encontrar uma solução particular para essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica bacana para encontrar soluções de equações diferenciais como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear não homogênea como essa, a solução geral é a soma da solução geral da homogênea mais a solução particular.
A equação homogênea associada é $ y’’ + y = 0 $. Vamos resolver essa primeiro.
Passo 3
A equação homogênea $ y’’ + y = 0 $ é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A gente resolve fazendo o equacionamento característico. Suponha que a solução seja da forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, temos que $ r^2 + 1 = 0 $, ou seja, $ r = \pm i $.
Passo 4
Com as raízes $ r = \pm i $, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação não homogênea $ y’’ + y = \cos(t) $.
Como o lado direito é $ \cos(t) $, que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa por $ t $ para evitar duplicação. Então, vamos supor:
onde $ A $ e $ B $ são coeficientes a serem determinados.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituímos $ y_p(t) $, $ y_p’(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação original $ y’’ + y = \cos(t) $:
Perceba que os termos com $ t $ se cancelam:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos $ \sin(t) $ e $ \cos(t) $:
Para $ \sin(t) $:
Para $ \cos(t) $:
Resposta
Portanto, uma solução particular para a equação $ y’’ + y = \cos(t) $ é: