Considere a equação:
a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial seguida de $ y’’ + y = \cos(t) $. Mas, por enquanto, a parte (a) pede pra gente focar na equação homogênea associada, que é $ y’’ + y = 0 $. Isso significa que vamos resolver essa equação sem o termo $ \cos(t) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais homogêneas de segunda ordem e suas soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial homogênea de segunda ordem tem a forma $ y’’ + by’ + cy = 0 $. No nosso caso, $ b = 0 $ e $ c = 1 $, então a equação é $ y’’ + y = 0 $.
Passo 3
Para resolver essa equação, a gente assume que a solução tem a forma de uma função exponencial, ou seja, $ y = e^{rt} $. Aí, a gente calcula as derivadas:
Passo 4
Substituindo $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação homogênea:
Podemos fatorar $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
Isso nos leva à equação característica:
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
Aqui, os valores de $ r $ são imaginários puros, $ r = i $ e $ r = -i $.
Passo 6
Quando temos raízes complexas da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação homogênea é:
No nosso caso, $ \alpha = 0 $ e $ \beta = 1 $, então a solução fica:
Resposta
A solução geral da equação homogênea $ y’’ + y = 0 $ é: