Considere a equação:
y^prime prime+y=cos (t)
a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial seguida de $ y’’ + y = \cos(t) $. Mas, por enquanto, a parte (a) pede pra gente focar na equação homogênea associada, que é $ y’’ + y = 0 $. Isso significa que vamos resolver essa equação sem o termo $ \cos(t) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais homogêneas de segunda ordem e suas soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial homogênea de segunda ordem tem a forma $ y’’ + by’ + cy = 0 $. No nosso caso, $ b = 0 $ e $ c = 1 $, então a equação é $ y’’ + y = 0 $.

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente assume que a solução tem a forma de uma função exponencial, ou seja, $ y = e^{rt} $. Aí, a gente calcula as derivadas:
y = e^rt
y' = r e^rt

Passo 4

Substituindo $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação homogênea:
y
Podemos fatorar $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
y'
Isso nos leva à equação característica:
y''

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
r^2 = -1
r = pm i
Aqui, os valores de $ r $ são imaginários puros, $ r = i $ e $ r = -i $.

Passo 6

Quando temos raízes complexas da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação homogênea é:
alpha pm beta i
No nosso caso, $ \alpha = 0 $ e $ \beta = 1 $, então a solução fica:
y(t) = e^alpha t [C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t)]

Resposta

A solução geral da equação homogênea $ y’’ + y = 0 $ é:
y'' + y = 0

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