Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y)=imath+2 jmath+z k sobre a esfera x^2+y^2+z^2=9

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F(x,y,z)=imath+2jmath+zk sobre a esfera x^2+y^2+z^2=9. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, então vamos calcular a divergência de vec F e usar o volume da esfera.

Passo 2

A divergência de um campo vetorial vec F=(Fx,Fy,Fz) é definida por
nablacdotvec F=partial Fxpartial x+partial Fypartial y+partial Fzpartial z
No nosso caso, vec F=(1,2,z), então
tfracpartialpartial x(1)=0, tfracpartialpartial y(2)=0 e tfracpartialpartial z(z)=1. Logo, nablacdotvec F=1.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de vec F pela superfície fechada S que envolve o volume V é
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral triplaVnablacdotvec F,dV
Como nablacdotvec F=1, isso se reduz a
integral triplaV1,dV, que corresponde ao volume de V.

Passo 4

O volume de uma esfera de raio r=3 é
V=43pi r^3=43picdot3^3=36pi
Esse valor é exatamente o fluxo de vec F sobre a esfera.

Resposta

36\pi

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