Se
d^2 yd x^2=-2 x+1
encontre y na forma de uma fração irredutível ab quando x=5, dado que d yd x=1 e y=-1 quando x=0
a=
b=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: d^2 yd x^2 = -2x + 1. A matéria aqui é cálculo diferencial, mais especificamente, resolução de equações diferenciais por integração. Vamos precisar integrar essa equação duas vezes e usar as condições iniciais que deram para encontrar a solução geral e depois o valor específico de y quando x = 5.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada. A equação é:
d^2 yd x^2 = -2x + 1
Integrando em relação a x:
d yd x = integral (-2x + 1) , dx = -x^2 + x + C
Aqui, C é a constante de integração que precisamos encontrar usando a condição inicial.

Passo 3

Sabemos que quando x = 0, dydx = 1. Vamos substituir esses valores na equação que encontramos:
1 = -0^2 + 0 + C Rightarrow C = 1
Então, a primeira derivada fica:
dydx = -x^2 + x + 1

Passo 4

Agora, vamos integrar novamente para encontrar y. Integramos a primeira derivada:
y = integral (-x^2 + x + 1) , dx = -x^33 + x^22 + x + D
Aqui, D é outra constante de integração que vamos descobrir usando a segunda condição inicial.

Passo 5

Sabemos que quando x = 0, y = -1. Substituindo esses valores:
-1 = -0^33 + 0^22 + 0 + D Rightarrow D = -1
Portanto, a função y fica:
y = -x^33 + x^22 + x - 1

Passo 6

Agora, vamos calcular y quando x = 5:
y(5) = -5^33 + 5^22 + 5 - 1 = -1253 + 252 + 4
Para facilitar as contas, vamos colocar tudo com denominador 6:
-1253 = -2506, 252 = 756, 4 = 246
Somando tudo:
-2506 + 756 + 246 = -1516

Resposta

a = -151
b = 6

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