Se
encontre
na forma de uma fração irredutível
quando
, dado que
e
quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
. A matéria aqui é cálculo diferencial, mais especificamente, resolução de equações diferenciais por integração. Vamos precisar integrar essa equação duas vezes e usar as condições iniciais que deram para encontrar a solução geral e depois o valor específico de
quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada. A equação é:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos encontrar usando a condição inicial.
Passo 3
Sabemos que quando
,
. Vamos substituir esses valores na equação que encontramos:
Então, a primeira derivada fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar novamente para encontrar
. Integramos a primeira derivada:
Aqui,
é outra constante de integração que vamos descobrir usando a segunda condição inicial.
Passo 5
Sabemos que quando
,
. Substituindo esses valores:
Portanto, a função
fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular
quando
:
Para facilitar as contas, vamos colocar tudo com denominador 6:
Somando tudo: