Considere a equação y^prime+5 y=2.
Mostre que yc=25+c e^-5 t, t in R, onde c in R é uma constante, é uma solução dessa equação.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial e precisamos mostrar que , onde é uma constante, é uma solução dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como resolver equações diferenciais de primeira ordem e entender o que significa verificar se uma função é solução da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é a solução geral da equação diferencial. Para verificar se ela é realmente uma solução, precisamos substituir na equação original e ver se a igualdade é satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . A função tem duas partes. A derivada de é 0, porque é uma constante. A derivada de é usando a regra da cadeia.
Então, .

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação diferencial original :
.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
.
O termo simplifica para 2, e cancela, ficando:
.

Passo 6

Vimos que, após a substituição e simplificação, a equação ficou igual a 2, que é exatamente o lado direito da equação original. Isso confirma que nossa função satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A função é, de fato, uma solução da equação diferencial .

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