Considere a equação
.
Mostre que
, onde
é uma constante, é uma solução dessa equação.
Mostre que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
e precisamos mostrar que
, onde
é uma constante, é uma solução dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como resolver equações diferenciais de primeira ordem e entender o que significa verificar se uma função é solução da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é a solução geral da equação diferencial. Para verificar se ela é realmente uma solução, precisamos substituir
na equação original e ver se a igualdade é satisfeita.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. A função
tem duas partes. A derivada de
é 0, porque é uma constante. A derivada de
é
usando a regra da cadeia.
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial original
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
O termo
simplifica para 2, e
cancela, ficando:
Passo 6
Vimos que, após a substituição e simplificação, a equação ficou igual a 2, que é exatamente o lado direito da equação original. Isso confirma que nossa função
satisfaz a equação diferencial.
Resposta
A função
é, de fato, uma solução da equação diferencial
.