Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^2x+c2e^3x.
phi(x)=2x-7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial onde precisamos encontrar uma solução particular para a equação L(y) = phi(x), com phi(x) = 2x - 7. A matéria aqui é sobre equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar uma solução particular quando já conhecemos a solução da equação homogênea associada, que nesse caso é yh = c1e^2x + c2e^3x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma solução particular. Basicamente, é uma solução específica da nossa equação não homogênea que não depende das constantes gerais da solução homogênea. Para encontrá-la, a gente faz uma “suposição” sobre a forma que ela pode ter, baseada na função phi(x).

Passo 3

No nosso caso, phi(x) = 2x - 7 é uma função polinomial de primeiro grau. Geralmente, quando a gente tem uma função do tipo polinômio de grau n, a solução particular também será um polinômio de grau n. Então, vamos supor que a solução particular yp tem a forma de um polinômio de primeiro grau:
yp = Ax + B
onde A e B são constantes que a gente precisa determinar.

Passo 4

Agora, vamos substituir yp na equação diferencial original L(y) = phi(x). Como não temos a expressão completa de L(y), mas sabemos a solução homogênea, podemos deduzir que a equação original é provavelmente de segunda ordem com coeficientes constantes, algo como:
y'' - 5y' + 6y = 2x - 7
Vamos calcular as derivadas de yp:
yp' = A yp'' = 0

Passo 5

Substituindo yp, yp' e yp'' na equação:
0 - 5A + 6(Ax + B) = 2x - 7
Simplificando:
-5A + 6Ax + 6B = 2x - 7

Passo 6

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para os termos com x:
6A = 2 Rightarrow A = 26 = 13
Para os termos constantes:
-5A + 6B = -7 -5(13) + 6B = -7 -53 + 6B = -7 6B = -7 + 53 6B = -213 + 53 6B = -163 B = -1618 = -89

Resposta

Portanto, a forma da solução particular é:
yp = 13x - 89

Exercícios relacionados