Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial onde precisamos encontrar uma solução particular para a equação
, com
. A matéria aqui é sobre equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar uma solução particular quando já conhecemos a solução da equação homogênea associada, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma solução particular. Basicamente, é uma solução específica da nossa equação não homogênea que não depende das constantes gerais da solução homogênea. Para encontrá-la, a gente faz uma “suposição” sobre a forma que ela pode ter, baseada na função
.
Passo 3
No nosso caso,
é uma função polinomial de primeiro grau. Geralmente, quando a gente tem uma função do tipo polinômio de grau
, a solução particular também será um polinômio de grau
. Então, vamos supor que a solução particular
tem a forma de um polinômio de primeiro grau:
onde
e
são constantes que a gente precisa determinar.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na equação diferencial original
. Como não temos a expressão completa de
, mas sabemos a solução homogênea, podemos deduzir que a equação original é provavelmente de segunda ordem com coeficientes constantes, algo como:
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para os termos com :
Para os termos com
Para os termos constantes:
Resposta
Portanto, a forma da solução particular é: