Considere o PVI
l d yd t=2 t y^2 y(0)=1
Determine o maior intervalo no qual essa solução é válida. Dica: Observe que a condição inicial impõe que 0 pertença a esse intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial:
l d yd t=2 t y^2 y(0)=1
Aqui, o conteúdo está relacionado a equações diferenciais e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todas as expressões com dyy^2 = 2 t , dt fiquem de um lado e todas as com fiquem do outro. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Integrar significa encontrar a antiderivada. A gente tem:
integral dyy^2 = integral 2 t , dt
Calculando as integrais:
  • Do lado esquerdo:
    integral y^-2 , dy = -y^-1 + C1 = -1y + C1
  • Do lado direito:
    integral 2 t , dt = t^2 + C2
Então, juntando os resultados:
-1y + C1 = t^2 + C2
Podemos simplificar as constantes, já que -1y = t^2 + C :

Passo 4

Vamos agora encontrar a constante -11 = 0^2 + C Rightarrow -1 = 0 + C Rightarrow C = -1 usando a condição inicial -1y = t^2 - 1 . Substituindo y = -1t^2 - 1 = 11 - t^2 e na equação:
Então, a equação fica:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, precisamos determinar para quais valores de y = 11 - t^2 essa solução é válida. Olha só a expressão:
1 - t^2 neq 0 Rightarrow t^2 neq 1 Rightarrow t neq pm 1
A gente tem que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então:

Passo 6

Além disso, a condição inicial nos diz que -1 < t < 1 está incluído no intervalo de validade. Então, queremos o maior intervalo que contenha e onde .
Isso significa que o intervalo válido é:

Resposta

A solução é válida para todos os números reais tal que .

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