Considere o PVI
Determine o maior intervalo no qual essa solução é válida. Dica: Observe que a condição inicial impõe que 0 pertença a esse intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial:
Aqui, o conteúdo está relacionado a equações diferenciais e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todas as expressões com
fiquem de um lado e todas as com
fiquem do outro. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Integrar significa encontrar a antiderivada. A gente tem:
Calculando as integrais:
-
Do lado esquerdo:
-
Do lado direito:
Então, juntando os resultados:
Podemos simplificar as constantes, já que
:
Passo 4
Vamos agora encontrar a constante
usando a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
Então, a equação fica:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, precisamos determinar para quais valores de
essa solução é válida. Olha só a expressão:
A gente tem que o denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então:
Passo 6
Além disso, a condição inicial nos diz que
está incluído no intervalo de validade. Então, queremos o maior intervalo que contenha
e onde
.
Isso significa que o intervalo válido é:
Resposta
A solução é válida para todos os números reais
tal que
.