Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^2x+c2e^3x.
phi(x)=4e^2x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular de L(y)=4e^2x, sabendo que a solução geral da homogênea é yh=c1e^2x+c2e^3x. O conteúdo aqui é método dos coeficientes indeterminados para EDO linear de segunda ordem, e vamos precisar da característica que dá r=2 e r=3, além da regra de multiplicar por x quando há ressonância.

Passo 2

A equação característica associada é r^2-5r+6=0, com raízes simples r=2 e r=3. Como o termo não homogêneo é 4e^2x e 2 já é raiz da característica (multiplicidade 1), usamos o ansatz ressonante
yp(x)=A,x e^2x

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de yp:
yp'=A e^2x(1+2x),
yp''=4A e^2x(x+1)

Passo 4

Substituímos na equação L(y)=y''-5y'+6y:
L(yp)=4Ae^2x(x+1)-5[A e^2x(1+2x)]+6[A x e^2x]
Fatorando A e^2x e simplificando:
L(yp)=A e^2xl[4(x+1)-5(1+2x)+6xr]=A e^2x(-1)=-A e^2x

Passo 5

Igualando -A e^2x a 4e^2x para satisfazer L(yp)=4e^2x A=-4. Portanto a solução particular é
yp(x)=-4x e^2x

Resposta

yp(x)=-4x e^2x

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