Determine:
a função g sabendo que (f \circ g)^{\prime}(x)=24 x+34, f(x)=3 x^{2}-x-1 e g^{\prime}(x)=2;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dado que (f\circ g)^{\prime}(x)=24x+34.
  • Foi dado que f(x)=3x^{2}-x-1.
  • Foi dado que g^{\prime}(x)=2.
  • O que se pede: determinar a função g (ou seja, encontrar uma expressão para g(x)).

Passo 2

Vou calcular a derivada de f. Para um polinômio, a derivada de ax^{n} é nax^{n-1}, a derivada de x é 1 e a de constante é 0. Aplicando isso a f(x)=3x^{2}-x-1, obtemos
f'(x)=6x-1.

Passo 3

Usarei a regra da cadeia para derivada da composição. A regra da cadeia diz que, para funções diferenciáveis f e g,
(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Isso significa que a derivada da composição é a derivada de f avaliada em g(x) multiplicada pela derivada de g.

Passo 4

Substituo f' e g' na fórmula da cadeia. Temos f'(x)=6x-1, então
f'(g(x))=6\,g(x)-1.
Multiplicando por g'(x)=2,
(f\circ g)'(x)=2\big(6\,g(x)-1\big)=12\,g(x)-2.

Passo 5

Agora igualo essa expressão ao valor fornecido para (f\circ g)'(x):
12\,g(x)-2=24x+34.
Somando 2 em ambos os lados:
12\,g(x)=24x+36.
Dividindo ambos os lados por 12:
g(x)=\frac{24x+36}{12}=2x+3.

Passo 6

Verificação rápida para nos deixar tranquilos: a derivada de g(x)=2x+3 é
g'(x)=2,
que coincide com a informação do enunciado. Além disso, calculando (f\circ g)' com essa g:
f'(g(x))=6(2x+3)-1=12x+17,
e então
(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=(12x+17)\cdot 2=24x+34,
que é exatamente o dado do enunciado. Está tudo consistente.

Resposta

\;g(x)=2x+3

Exercícios relacionados