Determine:
, sabendo que
;
Passo 1
O enunciado dá a igualdade funcional
para todos os
(pressuposto que a igualdade vale no domínio considerado) e pede para determinar
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Busco um ponto
em que os argumentos das duas funções
na igualdade fiquem iguais a
, porque aí aparecerá
e
. Resolver:
As soluções são
e
. Agora a outra condição:
Observamos que
satisfaz ambas as condições, pois
. Logo, em
os dois argumentos valem
.
Passo 3
Para extrair
vamos derivar a igualdade dada em relação a
. Antes, explico o princípio usado: regra da cadeia.
Se , então a derivada de
é dada por
Se
Isto significa: primeiro avaliamos a derivada de
no ponto
(isso é
) e multiplicamos pela derivada de
(isto é
). Exemplo simples: se
e
, então
que segue da regra da cadeia aplicando
com
e
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na igualdade
definimos
e
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Pela regra da cadeia
Como
e
, a equação fica
Passo 5
Agora avalio essa igualdade no ponto
, que, como mostrado, faz
e
. Também uso
. Substituindo:
Aqui usei que
e
.
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Passo todos os termos com
para um lado:
Calculo o coeficiente:
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