Determine:
f^{\prime}(0), sabendo que f\left(\operatorname{sen}(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=f(3 x-\pi)+3 x-\pi;

Passo 1

O enunciado dá a igualdade funcional
f\!\left(\operatorname{sen}(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=f(3x-\pi)+3x-\pi
para todos os x (pressuposto que a igualdade vale no domínio considerado) e pede para determinar f^{\prime}(0).
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) }\; f\big(\operatorname{sen}(x)-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)=f(3x-\pi)+3x-\pi\quad\text{(para todos os \(x\))}
\text{(ii) }\; \text{Deseja-se }f^{\prime}(0).

Passo 2

Busco um ponto x em que os argumentos das duas funções f na igualdade fiquem iguais a 0, porque aí aparecerá f(0) e f'(0). Resolver:
\operatorname{sen}(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
As soluções são x=\frac{\pi}{3}+2k\pi e x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi. Agora a outra condição:
3x-\pi=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}.
Observamos que x=\frac{\pi}{3} satisfaz ambas as condições, pois \operatorname{sen}\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo, em x=\tfrac{\pi}{3} os dois argumentos valem 0.

Passo 3

Para extrair f'(0) vamos derivar a igualdade dada em relação a x. Antes, explico o princípio usado: regra da cadeia.
Se \;h(x)=f(g(x))\;, então a derivada de h é dada por
h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isto significa: primeiro avaliamos a derivada de f no ponto g(x) (isso é f'(g(x))) e multiplicamos pela derivada de g (isto é g'(x)). Exemplo simples: se f(t)=t^2 e g(x)=\operatorname{sen} x, então
\frac{d}{dx} f(g(x))=\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x)^2 = 2\operatorname{sen} x\cdot\cos x,
que segue da regra da cadeia aplicando f'(t)=2t com t=g(x)=\operatorname{sen} x e g'(x)=\cos x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na igualdade
f\!\left(\operatorname{sen}(x)-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=f(3x-\pi)+3x-\pi,
definimos u(x)=\operatorname{sen}(x)-\tfrac{\sqrt{3}}{2} e v(x)=3x-\pi. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{d}{dx}\big[f(u(x))\big]=\frac{d}{dx}\big[f(v(x))\big]+\frac{d}{dx}(3x-\pi).
Pela regra da cadeia
f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=f'\big(v(x)\big)\cdot v'(x)+3.
Como u'(x)=\cos x e v'(x)=3, a equação fica
f'\big(\operatorname{sen}(x)-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\cdot\cos x = 3\,f'(3x-\pi) + 3.

Passo 5

Agora avalio essa igualdade no ponto x=\tfrac{\pi}{3}, que, como mostrado, faz u\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=0 e v\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=0. Também uso \cos\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{1}{2}. Substituindo:
f'(0)\cdot\frac{1}{2} = 3\,f'(0) + 3.
Aqui usei que f'\big(u(\tfrac{\pi}{3})\big)=f'(0) e f'\big(v(\tfrac{\pi}{3})\big)=f'(0).

Passo 6

Resolvendo a equação para f'(0):
\frac{1}{2}f'(0)=3f'(0)+3.
Passo todos os termos com f'(0) para um lado:
\left(\frac{1}{2}-3\right)f'(0)=3.
Calculo o coeficiente:
\frac{1}{2}-3=\frac{1-6}{2}=-\frac{5}{2}.
Logo
-\frac{5}{2}\,f'(0)=3 \quad\Longrightarrow\quad f'(0)=\frac{3}{-\tfrac{5}{2}}=3\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)=-\frac{6}{5}.

Resposta

-\dfrac{6}{5}

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