Verifique se os seguintes sistemas com descrição externa são B.I.B.O (Quando possível, verifique por meio de integração do módulo).
Passo 1
Entendendo o problema: Precisamos verificar se o sistema com a função de resposta ao impulso
é B.I.B.O (Bounded Input Bounded Output). Isso faz parte da matéria de Sistemas Lineares e Tempo-Invariante (LTI). Para resolver isso, vamos analisar a integral do módulo de
e verificar se ela é finita.
Passo 2
Definindo B.I.B.O: Um sistema é B.I.B.O se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. Matematicamente, isso significa que a integral do módulo de
ao longo de todo o tempo deve ser finita:
Passo 3
Separando os termos de
: A função
tem duas partes:
-
: onde é a função degrau unitário, que é zero para e um para . -
: onde é a função delta de Dirac, que tem valor zero em todos os lugares, exceto em .
Passo 4
Calculando a integral do primeiro termo: Vamos calcular
Porque
é zero para
.
Passo 5
Resolvendo a integral do primeiro termo: A integral
pode ser resolvida por integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Avaliado de 0 a
:
Multiplicando por 2:
Passo 6
Calculando a integral do segundo termo: A função delta de Dirac
tem a propriedade:
Portanto,
Passo 7
Somando as integrais: A integral total do módulo de
é:
Como 6 é um número finito, a integral do módulo de
é finita.
Resposta
O sistema é B.I.B.O, pois a integral do módulo de
é finita (
).