Verifique se os seguintes sistemas com descrição externa são B.I.B.O (Quando possível, verifique por meio de integração do módulo).
h(t)=2 t e^-t mu(t)+4 de

Passo 1

Entendendo o problema: Precisamos verificar se o sistema com a função de resposta ao impulso é B.I.B.O (Bounded Input Bounded Output). Isso faz parte da matéria de Sistemas Lineares e Tempo-Invariante (LTI). Para resolver isso, vamos analisar a integral do módulo de e verificar se ela é finita.

Passo 2

Definindo B.I.B.O: Um sistema é B.I.B.O se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. Matematicamente, isso significa que a integral do módulo de integral-infty^infty |h(t)| , dt < infty ao longo de todo o tempo deve ser finita:

Passo 3

Separando os termos de : A função tem duas partes:
  1. : onde é a função degrau unitário, que é zero para e um para .
  2. : onde é a função delta de Dirac, que tem valor zero em todos os lugares, exceto em .

Passo 4

Calculando a integral do primeiro termo: Vamos calcular
integral-infty^infty |2 t e^-t mu(t)| , dt = integral0^infty 2 t e^-t , dt
Porque é zero para .

Passo 5

Resolvendo a integral do primeiro termo: A integral
integral0^infty 2 t e^-t , dt
pode ser resolvida por integração por partes. Seja integral u , dv = u v - integral v , du e = -t e^-t + integral e^-t , dt = -t e^-t - e^-t = -e^-t(t + 1) . Então, [ -e^-t(t + 1) ]0^infty = 0 - (-1) = 1 e 2 times 1 = 2 .
Aplicando integração por partes:
Avaliado de 0 a :
Multiplicando por 2:

Passo 6

Calculando a integral do segundo termo: A função delta de Dirac integral-infty^infty de tem a propriedade:
integral-infty^infty |4 de
Portanto,

Passo 7

Somando as integrais: A integral total do módulo de 2 + 4 = 6 é:
Como 6 é um número finito, a integral do módulo de é finita.

Resposta

O sistema é B.I.B.O, pois a integral do módulo de é finita ( ).

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