Considere as Equações de Euler de movimento para um corpo rígido, tendo torque externo zero em torno de um ponto O fixo. Mostre que:
I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}+I_{3} \omega_{3}^{2}=2 E_{\text {cinetica }}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação
I_{1}\omega_{1}^{2}+I_{2}\omega_{2}^{2}+I_{3}\omega_{3}^{2}=2E_{\text{cinetica}}
para um corpo rígido com torque externo nulo em torno de um ponto O fixo. As informações dadas (explicitamente ou implicitamente) que vamos usar são:
  • I_{1},I_{2},I_{3} são os momentos de inércia em torno dos eixos principais que passam por O.
  • \omega_{1},\omega_{2},\omega_{3} são as componentes da velocidade angular \boldsymbol{\omega} expressas nesse sistema de eixos principais (sistema corpo-fixo).
  • As Equações de Euler para o movimento rotacional sem torque externo valem (componentes ao longo dos eixos principais): cada componente satisfaz uma equação com termo de inércia e termos \omega_j\omega_k.
  • O objetivo é mostrar que a soma ponderada \sum I_i \omega_i^2 é exatamente duas vezes a energia cinética rotacional E_{\text{cinetica}}.

Passo 2

Primeiro vamos entender e obter a expressão da energia cinética rotacional de um corpo rígido que gira em torno de O. Por definição, a energia cinética total do corpo é a energia cinética de todas as partículas que o compõem:
E_{\text{cinetica}}=\tfrac{1}{2}\int \rho(\mathbf{r})\,v(\mathbf{r})^{2}\,dV,
onde \mathbf{r} é o vetor posição de um ponto do corpo medido a partir de O, \rho(\mathbf{r}) é a densidade (mais geralmente, a massa por unidade de volume), e v(\mathbf{r}) é a velocidade desse ponto. Quando o corpo gira com velocidade angular \boldsymbol{\omega} em torno de O, a velocidade em cada ponto é dada pela regra do produto vetorial:
\mathbf{v}(\mathbf{r})=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}.
Agora calculamos v^{2}=(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}). Usamos a identidade vetorial
(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})=\|\boldsymbol{\omega}\|^{2}\|\mathbf{r}\|^{2}-(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{r})^{2}.
Substituindo na integral:
E_{\text{cinetica}}=\tfrac{1}{2}\int \rho(\mathbf{r})\Big(\|\boldsymbol{\omega}\|^{2}\|\mathbf{r}\|^{2}-(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{r})^{2}\Big)\,dV.
Agora introduzimos o tensor de inércia (em componentes) definido por
I_{ij}=\int \rho(\mathbf{r})\big(\|\mathbf{r}\|^{2}\delta_{ij}-r_{i}r_{j}\big)\,dV,
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, senão 0) e r_i são as componentes de \mathbf{r}. Com essa definição podemos escrever a energia cinética em forma matricial/quadrática:
E_{\text{cinetica}}=\tfrac{1}{2}\sum_{i,j}\omega_{i}I_{ij}\omega_{j},
ou em notação vetorial compacta
E_{\text{cinetica}}=\tfrac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^{T}\mathbf{I}\,\boldsymbol{\omega}.
Explico as quantidades: \omega_i é a i-ésima componente de \boldsymbol{\omega}; I_{ij} é a entrada (i,j) do tensor de inércia \mathbf{I}.

Passo 3

Agora escolhemos os eixos principais de inércia que passam por O. Pela escolha desses eixos, a matriz do tensor de inércia \mathbf{I} fica diagonal, isto é,
\mathbf{I}=\operatorname{diag}(I_{1},I_{2},I_{3}),
onde I_{1},I_{2},I_{3} são os momentos principais de inércia. Quando \mathbf{I} é diagonal, a expressão quadrática para a energia cinética fica particularmente simples:
E_{\text{cinetica}}=\tfrac{1}{2}\big(I_{1}\omega_{1}^{2}+I_{2}\omega_{2}^{2}+I_{3}\omega_{3}^{2}\big).
Aqui explicito: \omega_{1},\omega_{2},\omega_{3} são as componentes de \boldsymbol{\omega} ao longo desses eixos principais. Portanto já obtemos diretamente a relação
I_{1}\omega_{1}^{2}+I_{2}\omega_{2}^{2}+I_{3}\omega_{3}^{2}=2E_{\text{cinetica}},
que é precisamente o que se queria mostrar. Mas, para ligar isso às Equações de Euler (como dado no enunciado) e reforçar a compreensão, vamos também mostrar como essa expressão surge naturalmente das equações de movimento e da conservação de energia quando o torque externo é zero.

Passo 4

As Equações de Euler para um corpo rígido expostas nos eixos principais (componentes corpo-fixas) são, em presença de torques externos M_{i},
I_{1}\dot{\omega}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega_{2}\omega_{3}=M_{1},
I_{2}\dot{\omega}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega_{3}\omega_{1}=M_{2},
I_{3}\dot{\omega}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega_{1}\omega_{2}=M_{3}.
No problema temos torque externo zero em torno de O, então M_{1}=M_{2}=M_{3}=0. Assim:
I_{1}\dot{\omega}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega_{2}\omega_{3}=0,
I_{2}\dot{\omega}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega_{3}\omega_{1}=0,
I_{3}\dot{\omega}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega_{1}\omega_{2}=0.

Passo 5

Multiplicamos cada uma das três equações do Passo 4 pela respectiva componente \omega_{1},\omega_{2},\omega_{3} e somamos as três equações. Fazendo isso obtemos no lado esquerdo:
I_{1}\omega_{1}\dot{\omega}_{1}+I_{2}\omega_{2}\dot{\omega}_{2}+I_{3}\omega_{3}\dot{\omega}_{3} +(I_{3}-I_{2})\omega_{1}\omega_{2}\omega_{3} +(I_{1}-I_{3})\omega_{2}\omega_{3}\omega_{1} +(I_{2}-I_{1})\omega_{3}\omega_{1}\omega_{2}=0.
Observe os termos triplo-produto: todos são constantes multiplicados por \omega_{1}\omega_{2}\omega_{3} e a soma deles é
(I_{3}-I_{2})+(I_{1}-I_{3})+(I_{2}-I_{1})=0,
portanto esses três termos se cancelam entre si. Restam apenas os primeiros termos que podemos reconhecer como derivada temporal de uma soma de quadrados:
I_{1}\omega_{1}\dot{\omega}_{1}+I_{2}\omega_{2}\dot{\omega}_{2}+I_{3}\omega_{3}\dot{\omega}_{3} =\tfrac{1}{2}\frac{d}{dt}\big(I_{1}\omega_{1}^{2}+I_{2}\omega_{2}^{2}+I_{3}\omega_{3}^{2}\big).
Como a soma completa deve ser zero (pela igualdade resultante da soma das equações), concluímos
\tfrac{1}{2}\frac{d}{dt}\big(I_{1}\omega_{1}^{2}+I_{2}\omega_{2}^{2}+I_{3}\omega_{3}^{2}\big)=0.
Ou seja, a quantidade I_{1}\omega_{1}^{2}+I_{2}\omega_{2}^{2}+I_{3}\omega_{3}^{2} é constante no tempo — é uma forma de conservar a energia cinética quando não há torque externo. Combinando isso com o resultado do Passo 3 (fórmula explícita de E_{\text{cinetica}}), vemos que essa quantidade constante é precisamente 2E_{\text{cinetica}}.

Resposta

I_{1}\omega_{1}^{2}+I_{2}\omega_{2}^{2}+I_{3}\omega_{3}^{2}=2E_{\text{cinetica}}

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