Considere as Equações de Euler de movimento para um corpo rígido, tendo torque externo zero em torno de um ponto O fixo. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a relação
para um corpo rígido com torque externo nulo em torno de um ponto
fixo. As informações dadas (explicitamente ou implicitamente) que vamos usar são:
-
são os momentos de inércia em torno dos eixos principais que passam por . -
são as componentes da velocidade angular expressas nesse sistema de eixos principais (sistema corpo-fixo). - As Equações de Euler para o movimento rotacional sem torque externo valem (componentes ao longo dos eixos principais): cada componente satisfaz uma equação com termo de inércia e termos
. - O objetivo é mostrar que a soma ponderada
é exatamente duas vezes a energia cinética rotacional .
Passo 2
Primeiro vamos entender e obter a expressão da energia cinética rotacional de um corpo rígido que gira em torno de
. Por definição, a energia cinética total do corpo é a energia cinética de todas as partículas que o compõem:
onde
é o vetor posição de um ponto do corpo medido a partir de
,
é a densidade (mais geralmente, a massa por unidade de volume), e
é a velocidade desse ponto. Quando o corpo gira com velocidade angular
em torno de
, a velocidade em cada ponto é dada pela regra do produto vetorial:
Agora calculamos
. Usamos a identidade vetorial
Substituindo na integral:
Agora introduzimos o tensor de inércia (em componentes) definido por
onde
é o delta de Kronecker (
se
, senão
) e
são as componentes de
. Com essa definição podemos escrever a energia cinética em forma matricial/quadrática:
ou em notação vetorial compacta
Explico as quantidades:
é a
-ésima componente de
;
é a entrada
do tensor de inércia
.
Passo 3
Agora escolhemos os eixos principais de inércia que passam por
. Pela escolha desses eixos, a matriz do tensor de inércia
fica diagonal, isto é,
onde
são os momentos principais de inércia. Quando
é diagonal, a expressão quadrática para a energia cinética fica particularmente simples:
Aqui explicito:
são as componentes de
ao longo desses eixos principais. Portanto já obtemos diretamente a relação
que é precisamente o que se queria mostrar. Mas, para ligar isso às Equações de Euler (como dado no enunciado) e reforçar a compreensão, vamos também mostrar como essa expressão surge naturalmente das equações de movimento e da conservação de energia quando o torque externo é zero.
Passo 4
As Equações de Euler para um corpo rígido expostas nos eixos principais (componentes corpo-fixas) são, em presença de torques externos
,
No problema temos torque externo zero em torno de
, então
. Assim:
Passo 5
Multiplicamos cada uma das três equações do Passo 4 pela respectiva componente
e somamos as três equações. Fazendo isso obtemos no lado esquerdo:
Observe os termos triplo-produto: todos são constantes multiplicados por
e a soma deles é
portanto esses três termos se cancelam entre si. Restam apenas os primeiros termos que podemos reconhecer como derivada temporal de uma soma de quadrados:
Como a soma completa deve ser zero (pela igualdade resultante da soma das equações), concluímos
Ou seja, a quantidade
é constante no tempo — é uma forma de conservar a energia cinética quando não há torque externo. Combinando isso com o resultado do Passo 3 (fórmula explícita de
), vemos que essa quantidade constante é precisamente
.