Um objeto de 7 kg sobre uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com constante
. O objeto é deslocado
horizontalmente a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de
e volta em direção à posição de equilíbrio. Avalie:
(a) a frequência do movimento,
(a) a frequência do movimento,
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a frequência do movimento (item (a)). As informações dadas são:
- Massa do objeto:
. - Constante da mola:
. - O objeto foi deslocado
horizontalmente a partir da posição de equilíbrio (ou seja, deslocamento inicial ; estou pegando esse dado do enunciado). - Recebeu uma velocidade inicial de
em direção à posição de equilíbrio (também dado pelo enunciado). - Pergunta: (a) qual é a frequência do movimento?
Observação: neste passo apenas listei o que o enunciado fornece e o que é pedido; ainda não comecei a resolver.
Passo 2
Modelo físico e equação que descreve o movimento (explicação didática):
Sem atrito e com um objeto preso a uma mola ideal, o sistema realiza um movimento harmônico simples (MHS). A equação de movimento, obtida pela Segunda Lei de Newton ( ) somada à força restauradora da mola (
), é
Sem atrito e com um objeto preso a uma mola ideal, o sistema realiza um movimento harmônico simples (MHS). A equação de movimento, obtida pela Segunda Lei de Newton (
Aqui:
-
é a posição do corpo em função do tempo; -
é a segunda derivada de em relação ao tempo, ou seja, a aceleração; -
é a massa; -
é a constante da mola.
Uma solução senoidal típica dessa equação é
onde
é a amplitude e
é a fase inicial. Substituindo
na equação diferencial obtemos (após derivar duas vezes)
o que exige
Portanto o que nos interessa para a frequência é a relação
onde
é a frequência angular (unidade:
). A frequência comum (ciclos por segundo) é dada por
Expliquei cada variável para você:
em
,
em
; o quociente
tem unidade
, e a raiz dá
.
Passo 3
Análise de unidades rápida (para você entender por que a fórmula faz sentido):
logo
tem unidade
(rad/s), consistente com
.
Passo 4
Cálculo numérico da frequência angular
:
Substituindo os valores e
na fórmula
Substituindo os valores
Calculemos passo a passo:
e
Passo 5
Cálculo da frequência própria
(ciclos por segundo):
Aqui usei
e dividi para obter o valor em hertz (ciclos por segundo). Esse valor é independente da amplitude inicial e da velocidade inicial — elas determinam a amplitude e a fase, não a frequência, no caso ideal sem atrito.