Um objeto de 7 kg sobre uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com constante boldsymbol{k}=\mathbf{1 0 0 0 N} / \mathbf{m}. O objeto é deslocado \mathbf{5 0 , 0} \mathrm{cm} horizontalmente a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e volta em direção à posição de equilíbrio. Avalie:
(a) a frequência do movimento,

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a frequência do movimento (item (a)). As informações dadas são:
  • Massa do objeto: m=7\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=1000\\ \mathrm{N/m}.
  • O objeto foi deslocado 50{,}0\\ \mathrm{cm} horizontalmente a partir da posição de equilíbrio (ou seja, deslocamento inicial 0{,}500\\ \mathrm{m}; estou pegando esse dado do enunciado).
  • Recebeu uma velocidade inicial de 10{,}0\\ \mathrm{m/s} em direção à posição de equilíbrio (também dado pelo enunciado).
  • Pergunta: (a) qual é a frequência do movimento?
Observação: neste passo apenas listei o que o enunciado fornece e o que é pedido; ainda não comecei a resolver.

Passo 2

Modelo físico e equação que descreve o movimento (explicação didática):
Sem atrito e com um objeto preso a uma mola ideal, o sistema realiza um movimento harmônico simples (MHS). A equação de movimento, obtida pela Segunda Lei de Newton ( F=ma) somada à força restauradora da mola ( F=-kx), é
m\ddot{x} + kx = 0.
Aqui:
  • x(t) é a posição do corpo em função do tempo;
  • \ddot{x} é a segunda derivada de x em relação ao tempo, ou seja, a aceleração;
  • m é a massa;
  • k é a constante da mola.
Uma solução senoidal típica dessa equação é
x(t)=A\cos(\omega t + \varphi),
onde A é a amplitude e \varphi é a fase inicial. Substituindo x(t) na equação diferencial obtemos (após derivar duas vezes)
-m\omega^{2}A\cos(\omega t + \varphi) + kA\cos(\omega t + \varphi)=0,
o que exige
-m\omega^{2} + k = 0 \quad\Longrightarrow\quad \omega^{2}=\frac{k}{m}.
Portanto o que nos interessa para a frequência é a relação
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
onde \omega é a frequência angular (unidade: \mathrm{rad/s}). A frequência comum (ciclos por segundo) é dada por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Expliquei cada variável para você: k em \mathrm{N/m}, m em \mathrm{kg}; o quociente k/m tem unidade \mathrm{s^{-2}}, e a raiz dá \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Análise de unidades rápida (para você entender por que a fórmula faz sentido):
\frac{k}{m}=\frac{\mathrm{N/m}}{\mathrm{kg}}=\frac{\mathrm{kg\cdot m/s^{2}}}{\mathrm{m}\cdot \mathrm{kg}}=\mathrm{s^{-2}},
logo \sqrt{k/m} tem unidade \mathrm{s^{-1}} (rad/s), consistente com \omega.

Passo 4

Cálculo numérico da frequência angular \omega:
Substituindo os valores k=1000 e m=7 na fórmula
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1000}{7}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{1000}{7}=142{,}857142857\ldots
e
\omega=\sqrt{142{,}857142857\ldots}\approx 11{,}9523\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Cálculo da frequência própria f (ciclos por segundo):
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{11{,}9523}{2\pi}=\frac{11{,}9523}{6{,}283185307\ldots}\approx 1{,}902\\ \mathrm{Hz}.
Aqui usei 2\pi\approx 6{,}283185307 e dividi para obter o valor em hertz (ciclos por segundo). Esse valor é independente da amplitude inicial e da velocidade inicial — elas determinam a amplitude e a fase, não a frequência, no caso ideal sem atrito.

Resposta

\,1,902\\ \mathrm{Hz}

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