Considere as equações de Maxwell em um meio condutor (ôhmico),
(a) Escreva as equações de Maxwell neste caso.
(b) Escreva a equação de onda para o campo elétrico.
© Considere uma onda plana E se propagando neste meio, encontre as condições que k e omega devem satisfazer para que E seja uma solução da equação de onda modificada.

Passo 1

O enunciado pede para a gente trabalhar com as equações de Maxwell num meio ôhmico (condutor com condutividade σ), derivar a equação de onda para o campo elétrico e depois ver que relação entre o vetor de onda k e a frequência ω faz uma onda plana satisfazer essa equação. Vamos usar as operações de divergência e rotacional, além das relações constitutivas J=σE, D=εE e B=μH.

Passo 2

As equações de Maxwell num meio ôhmico, em forma diferencial e assumindo cargas livres ρ,livres e corrente de condução J=σE, são:
nablacdot E = rholivresvarepsilon,
nablatimes E = -partial Bpartial t,
nablacdot B = 0,
nablatimes H = J + partial Dpartial t = sigma E + varepsilonpartial Epartial t

Passo 3

Aqui usamos as relações constitutivas
D = varepsilon E, B = mu H, J = sigma E

Passo 4

Agora a gente vai derivar a equação de onda para E. Começamos aplicando rotacional em nablatimes E = -partialt B:
nablatimes(nablatimes E) = -partialpartial t(nablatimes B)

Passo 5

Pelo teorema de vetores vale
nablatimes(nablatimes E)=nabla(nablacdot E)-nabla^2E

Passo 6

Em geral assumimos ρ,livres=0 no volume (região homogênea e neutra), logo nablacdot E=0. Então
nablatimes(nablatimes E)=-nabla^2E

Passo 7

Por outro lado
nablatimes B=mu,sigma E + mu,varepsilonpartial Epartial t,
então
-nabla^2E = -mu,varepsilonpartial^2Epartial t^2 - mu,sigmapartial Epartial t

Passo 8

Reorganizando, a equação de onda amortecida fica
nabla^2E - mu,varepsilonpartial^2Epartial t^2 - mu,sigmapartial Epartial t=0

Passo 9

Agora consideramos uma onda plana do tipo
E( r,t)=E0,e^i( kcdot r-omega t)

Passo 10

Substituindo na equação de onda: cada derivada espacial traz um fator -k^2 e cada derivada temporal traz (-iomega) ou (-iomega)^2=-omega^2. Isso dá:
-k^2E + mu,varepsilon,omega^2E + i,mu,sigma,omega E = 0

Passo 11

Logo a relação de dispersão é
k^2 = mu,varepsilon,omega^2 + i,mu,sigma,omega

Passo 12

Se a gente escrever k=k'+ik'' com k',k'' reais, separando partes real e imaginária, obtemos
k'^2 - k''^2 = mu,varepsilon,omega^2,2k'k'' = mu,sigma,omega

Resposta

A condição para a onda plana existir é satisfazer a relação de dispersão
k^2 = mu,varepsilon,omega^2 + i,mu,sigma,omega,
ou, decompondo em partes real e imaginária,
k'^2 - k''^2 = mu,varepsilon,omega^2,2k'k'' = mu,sigma,omega

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