Considere as equações de Maxwell em um meio condutor (ôhmico),
(a) Escreva as equações de Maxwell neste caso.
(b) Escreva a equação de onda para o campo elétrico.
© Considere uma onda plana
se propagando neste meio, encontre as condições que
e
devem satisfazer para que
seja uma solução da equação de onda modificada.
(a) Escreva as equações de Maxwell neste caso.
(b) Escreva a equação de onda para o campo elétrico.
© Considere uma onda plana
Passo 1
O enunciado pede para a gente trabalhar com as equações de Maxwell num meio ôhmico (condutor com condutividade σ), derivar a equação de onda para o campo elétrico e depois ver que relação entre o vetor de onda k e a frequência ω faz uma onda plana satisfazer essa equação. Vamos usar as operações de divergência e rotacional, além das relações constitutivas J=σE, D=εE e B=μH.
Passo 2
As equações de Maxwell num meio ôhmico, em forma diferencial e assumindo cargas livres ρ,livres e corrente de condução J=σE, são:
Passo 3
Aqui usamos as relações constitutivas
Passo 4
Agora a gente vai derivar a equação de onda para E. Começamos aplicando rotacional em
:
Passo 5
Pelo teorema de vetores vale
Passo 6
Em geral assumimos ρ,livres=0 no volume (região homogênea e neutra), logo
. Então
Passo 7
Por outro lado
então
Passo 8
Reorganizando, a equação de onda amortecida fica
Passo 9
Agora consideramos uma onda plana do tipo
Passo 10
Substituindo na equação de onda: cada derivada espacial traz um fator
e cada derivada temporal traz
ou
. Isso dá:
Passo 11
Logo a relação de dispersão é
Passo 12
Se a gente escrever
com
reais, separando partes real e imaginária, obtemos
Resposta
A condição para a onda plana existir é satisfazer a relação de dispersão
ou, decompondo em partes real e imaginária,