Usando a lei de Maxwell-Ampére e a conservação da energia mostre que o vetor de Poynting é dado por S=E times H em um meio com constante dielétrica epsilon e permeabilidade magnética mu.

Passo 1

A questão pede para derivar o vetor de Poynting em um meio linear com constante dielétrica epsilon e permeabilidade mu, usando a lei de Maxwell–Ampère e a conservação de energia. O conteúdo aqui é a dedução da forma do teorema de Poynting, e vamos precisar das equações de Maxwell (Ampère–Maxwell e Faraday) e de noções de densidade de energia eletromagnética.

Passo 2

Escrevemos as equações de Maxwell relevantes. A lei de Maxwell–Ampère (com corrente livre Jf) é
nablatimesH=Jf+partialDpartial t
Já a lei de Faraday é
nablatimesE=-partialBpartial t

Passo 3

Fazemos o produto escalar de E com a equação de Maxwell–Ampère e de H com a de Faraday:
Ecdot(nablatimesH)=EcdotJf+EcdotpartialDpartial t
Hcdot(nablatimesE)=-HcdotpartialBpartial t

Passo 4

Subtraindo a segunda da primeira e usando a identidade vetorial
nablacdot(EtimesH)=Hcdot(nablatimesE)-Ecdot(nablatimesH),
obtemos
nablacdot(EtimesH)=-HcdotpartialBpartial t-EcdotJf-EcdotpartialDpartial t

Passo 5

Num meio linear temos D=epsilonE e B=muH. A densidade de energia eletromagnética é
$$
u=\frac12(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{H})=\frac12(\epsilon E^2+\mu H^2).$$

Passo 6

Como
partial upartial t=EcdotpartialDpartial t+HcdotpartialBpartial t,
a equação anterior se reescreve como
nablacdot(EtimesH)+partial upartial t+EcdotJf=0

Passo 7

Essa é a forma diferencial do teorema de Poynting, que mostra que o fluxo de energia eletromagnética é dado pelo vetor de Poynting
.

Resposta

S=EtimesH

Exercícios relacionados