Usando a lei de Maxwell-Ampére e a conservação da energia mostre que o vetor de Poynting é dado por
em um meio com constante dielétrica
e permeabilidade magnética
.
Passo 1
A questão pede para derivar o vetor de Poynting em um meio linear com constante dielétrica
e permeabilidade
, usando a lei de Maxwell–Ampère e a conservação de energia. O conteúdo aqui é a dedução da forma do teorema de Poynting, e vamos precisar das equações de Maxwell (Ampère–Maxwell e Faraday) e de noções de densidade de energia eletromagnética.
Passo 2
Escrevemos as equações de Maxwell relevantes. A lei de Maxwell–Ampère (com corrente livre
) é
Já a lei de Faraday é
Passo 3
Fazemos o produto escalar de
com a equação de Maxwell–Ampère e de
com a de Faraday:
Passo 4
Subtraindo a segunda da primeira e usando a identidade vetorial
obtemos
Passo 5
Num meio linear temos
e
. A densidade de energia eletromagnética é
$$
u=\frac12(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{H})=\frac12(\epsilon E^2+\mu H^2).$$
Passo 6
Como
a equação anterior se reescreve como
Passo 7
Essa é a forma diferencial do teorema de Poynting, que mostra que o fluxo de energia eletromagnética é dado pelo vetor de Poynting
.