(3.0) - Considere as equações do movimento de um sistema de 2 graus de liberdade:
\begin{aligned} & m_{1} \ddot{x}_{1}+k_{1} x_{1}+k_{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)=0 \\\ & m_{2} \ddot{x}_{2}+\left(k_{2}+k_{3}\right) x_{2}-k_{2} x_{1}=0 \end{aligned}
sendo, m_{1}=1[\mathrm{~kg}], m_{2}=1[\mathrm{~kg}], k_{1}=1000[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], k_{2}=1000[\mathrm{~N} / \mathrm{m}] e k_{3}=1000[\mathrm{~N} / \mathrm{m}]. Pede-se:
(a) (1.0) - Calcule as frequências naturais;
(b) (2.0) - Calcule os modos de vibrar.

Passo 1

O enunciado dá as equações do movimento de um sistema de 2 graus de liberdade e os parâmetros numéricos. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
  • Equações do movimento:
\begin{aligned} & m_{1}\ddot{x}_{1}+k_{1}x_{1}+k_{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)=0,\\[4pt] & m_{2}\ddot{x}_{2}+\left(k_{2}+k_{3}\right)x_{2}-k_{2}x_{1}=0. \end{aligned}
  • Valores numéricos:
m_{1}=1\\ \mathrm{kg},\qquad m_{2}=1\\ \mathrm{kg},
k_{1}=1000\\ \mathrm{N/m},\qquad k_{2}=1000\\ \mathrm{N/m},\qquad k_{3}=1000\\ \mathrm{N/m}.
O enunciado pede:
(a) Calcular as frequências naturais.
(b) Calcular os modos de vibrar (os autovetores, formas modais).]

Passo 2

Conceito e método (passo-a-passo didático).
  • Para um sistema linear sem amortecimento com massas e rigidezes constantes, procuramos soluções harmônicas do tipo
\mathbf{x}(t)=\boldsymbol{\varphi}\,e^{i\omega t},
onde \boldsymbol{\varphi}=\begin{pmatrix}\phi_{1}\\[2pt]\phi_{2}\end{pmatrix} é o modo (autovetor) e \omega é a frequência angular natural. Substituindo essa forma nas equações de movimento obtemos o problema de autovalores
\left(\mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M}\right)\boldsymbol{\varphi}=\mathbf{0}.
  • Aqui \mathbf{M} é a matriz de massas e \mathbf{K} é a matriz de rigidezas. As frequências naturais \omega surgem impondo que o determinante seja nulo:
\det\!\left(\mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M}\right)=0.
Vou montar \mathbf{M} e \mathbf{K} com os números dados e resolver essa equação característica para obter \omega^{2}, depois \omega. Em seguida obtenho os modos \boldsymbol{\varphi} resolvendo \left(\mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M}\right)\boldsymbol{\varphi}=\mathbf{0} para cada \omega.]

Passo 3

Montagem das matrizes massa e rigidez com os valores fornecidos.
  • A matriz de massas, como m_{1}=m_{2}=1, é
\mathbf{M}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}.
  • A matriz de rigidez para o sistema (pela forma das equações) é
\mathbf{K}=\begin{pmatrix} k_{1}+k_{2} & -k_{2}\\[2pt] -k_{2} & k_{2}+k_{3} \end{pmatrix}.
Substituindo k_{1}=k_{2}=k_{3}=1000 obtém-se
\mathbf{K}=\begin{pmatrix} 2000 & -1000\\[2pt] -1000 & 2000 \end{pmatrix}\quad\text{(unidades: N/m).}]

Passo 4

Equação característica para \omega^{2}.
  • O problema é
\det\!\left(\mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M}\right)=0,
ou seja
\det\!\begin{pmatrix} 2000-\omega^{2} & -1000\\[2pt] -1000 & 2000-\omega^{2} \end{pmatrix}=0.
  • Calculo o determinante explicitamente:
(2000-\omega^{2})^{2}-(-1000)(-1000)=(2000-\omega^{2})^{2}-1\,000\,000.
Igualando a zero:
(2000-\omega^{2})^{2}-1\,000\,000=0.]

Passo 5

Resolvendo a equação característica para \omega^{2}.
  • Reescrevo como
(2000-\omega^{2})^{2}=1\,000\,000=(1000)^{2}.
  • Tomando raiz quadrada (duas possibilidades),
2000-\omega^{2}=\pm 1000.
  • Caso 1 (sinal +): 2000-\omega^{2}=1000\Rightarrow \omega^{2}=1000.
  • Caso 2 (sinal -): 2000-\omega^{2}=-1000\Rightarrow \omega^{2}=3000.

Passo 6

Cálculo das frequências angulares \omega (natural frequencies).
  • Para \omega^{2}=1000:
\omega_{1}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}\\ \mathrm{rad/s}\approx 31,6228\\ \mathrm{rad/s}.
  • Para \omega^{2}=3000:
\omega_{2}=\sqrt{3000}=10\sqrt{30}\\ \mathrm{rad/s}\approx 54,7723\\ \mathrm{rad/s}.
(Observação: usei raiz quadrada positiva porque \omega é frequência angular positiva.)

Passo 7

Cálculo do modo associado a \omega_{1}^{2}=1000.
  • Substituo \omega^{2}=1000 em \left(\mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M}\right)\boldsymbol{\varphi}=\mathbf{0}:
\begin{pmatrix} 2000-1000 & -1000\\[2pt] -1000 & 2000-1000 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\phi_{1}\\[2pt]\phi_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix},
ou seja
\begin{pmatrix} 1000 & -1000\\[2pt] -1000 & 1000 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\phi_{1}\\[2pt]\phi_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Isso gera a equação (da primeira linha)
1000\phi_{1}-1000\phi_{2}=0\quad\Rightarrow\quad \phi_{1}=\phi_{2}.
  • Assim qualquer múltiplo de \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} é um autovetor. Escolho a forma simples
\boldsymbol{\varphi}^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Se quiser normalizar em norma de massa (aqui \mathbf{M}=\mathbf{I}), a norma é \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}, então a versão normalizada é
\hat{\boldsymbol{\varphi}}^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Cálculo do modo associado a \omega_{2}^{2}=3000.
  • Substituo \omega^{2}=3000 em \left(\mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M}\right)\boldsymbol{\varphi}=\mathbf{0}:
\begin{pmatrix} 2000-3000 & -1000\\[2pt] -1000 & 2000-3000 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\phi_{1}\\[2pt]\phi_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix},
ou seja
\begin{pmatrix} -1000 & -1000\\[2pt] -1000 & -1000 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\phi_{1}\\[2pt]\phi_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Da primeira linha vem
-1000\phi_{1}-1000\phi_{2}=0\quad\Rightarrow\quad \phi_{1}=-\phi_{2}.
  • Assim qualquer múltiplo de \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix} é um autovetor. Escolho
\boldsymbol{\varphi}^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
  • Versão normalizada (norma \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}):
\hat{\boldsymbol{\varphi}}^{(2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Interpretação física rápida (para fixar a intuição, não é cálculo).
  • O primeiro modo \boldsymbol{\varphi}^{(1)}=[1\;1]^{T} significa que as duas massas vibram em fase (movem-se na mesma direção e com mesma amplitude relativa).
  • O segundo modo \boldsymbol{\varphi}^{(2)}=[1\;-1]^{T} significa movimento em oposição de fase (quando uma massa vai para a direita, a outra vai para a esquerda).
  • Frequência maior está associada ao modo em oposição de fase (mais “rigidez efetiva” porque as molas entre massas entram em ação).

Resposta

(a) \omega_{1}=10\sqrt{10}\\ \mathrm{rad/s}\approx 31,6228\\ \mathrm{rad/s},\qquad \omega_{2}=10\sqrt{30}\\ \mathrm{rad/s}\approx 54,7723\\ \mathrm{rad/s}
(b) \boldsymbol{\varphi}^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} (normalizado \displaystyle \hat{\boldsymbol{\varphi}}^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}),\quad
\boldsymbol{\varphi}^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix} (normalizado \displaystyle \hat{\boldsymbol{\varphi}}^{(2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}).]

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