(3.0) - Considere as equações do movimento de um sistema de 2 graus de liberdade:
sendo,
e
. Pede-se:
(a) (1.0) - Calcule as frequências naturais;
(b) (2.0) - Calcule os modos de vibrar.
(a) (1.0) - Calcule as frequências naturais;
(b) (2.0) - Calcule os modos de vibrar.
Passo 1
O enunciado dá as equações do movimento de um sistema de 2 graus de liberdade e os parâmetros numéricos. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
- Equações do movimento:
- Valores numéricos:
O enunciado pede:
(a) Calcular as frequências naturais.
(b) Calcular os modos de vibrar (os autovetores, formas modais).]
(a) Calcular as frequências naturais.
(b) Calcular os modos de vibrar (os autovetores, formas modais).]
Passo 2
Conceito e método (passo-a-passo didático).
- Para um sistema linear sem amortecimento com massas e rigidezes constantes, procuramos soluções harmônicas do tipo
onde
é o modo (autovetor) e
é a frequência angular natural. Substituindo essa forma nas equações de movimento obtemos o problema de autovalores
- Aqui
é a matriz de massas e é a matriz de rigidezas. As frequências naturais surgem impondo que o determinante seja nulo:
Vou montar
e
com os números dados e resolver essa equação característica para obter
, depois
. Em seguida obtenho os modos
resolvendo
para cada
.]
Passo 3
Montagem das matrizes massa e rigidez com os valores fornecidos.
- A matriz de massas, como
, é
- A matriz de rigidez para o sistema (pela forma das equações) é
Substituindo
obtém-se
Passo 4
Equação característica para
.
- O problema é
ou seja
- Calculo o determinante explicitamente:
Igualando a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação característica para
.
- Reescrevo como
- Tomando raiz quadrada (duas possibilidades),
- Caso 1 (sinal
): - Caso 2 (sinal
):
Passo 6
Cálculo das frequências angulares
(natural frequencies).
- Para
:
- Para
:
(Observação: usei raiz quadrada positiva porque
é frequência angular positiva.)
Passo 7
Cálculo do modo associado a
.
- Substituo
em :
ou seja
- Isso gera a equação (da primeira linha)
- Assim qualquer múltiplo de
é um autovetor. Escolho a forma simples
- Se quiser normalizar em norma de massa (aqui
), a norma é , então a versão normalizada é
Passo 8
Cálculo do modo associado a
.
- Substituo
em :
ou seja
- Da primeira linha vem
- Assim qualquer múltiplo de
é um autovetor. Escolho
- Versão normalizada (norma
):
Passo 9
Interpretação física rápida (para fixar a intuição, não é cálculo).
- O primeiro modo
significa que as duas massas vibram em fase (movem-se na mesma direção e com mesma amplitude relativa). - O segundo modo
significa movimento em oposição de fase (quando uma massa vai para a direita, a outra vai para a esquerda). - Frequência maior está associada ao modo em oposição de fase (mais “rigidez efetiva” porque as molas entre massas entram em ação).
Resposta
(a)
(b)
(normalizado
),\quad