Questão 5

Um fio de comprimento 2,00 \mathrm{~m} está na direção leste-oeste e move-se horizontalmente para o norte com velocidade 0,500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O campo magnético da Terra nessa região é de módulo 50,0 e está direcionado para o norte e a 53,0^{\circ} abaixo da horizontal. (a) Calcule o módulo da fem induzida entre as extremidades do fio. (b) Determine qual a extremidade é positiva (leste ou oeste), justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Fio de comprimento 2,00\\ \mathrm{m}, orientado na direção leste–oeste.
  • O fio move-se horizontalmente para o norte com velocidade 0,500\\ \mathrm{m/s}.
  • O campo magnético tem módulo 50,0 e está direcionado para o norte e 53,0^\circ abaixo da horizontal.
    • Aqui assume‑se a unidade típica para o campo terrestre: 50,0\\ \mu\mathrm{T}=50,0\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular o módulo da fem induzida entre as extremidades do fio.
    (b) Determinar qual extremidade fica positiva (leste ou oeste) e justificar.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicada de forma simples).
Quando um condutor se move com velocidade \vec{v} num campo magnético \vec{B}, cargas dentro do condutor sofrem a força magnética
\vec{F}_B = q\,(\vec{v}\times\vec{B}),
onde q é a carga (positiva ou negativa). Para cargas positivas, \vec{v}\times\vec{B} dá a direção da força. Essa separação de cargas cria uma diferença de potencial (fem) entre as extremidades do fio. Para um fio reto de comprimento \vec{L} o valor da fem entre as extremidades é dado por
\varepsilon = \int (\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{\ell} = (\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{L},
onde \vec{L} é o vetor que vai de uma extremidade do fio até a outra (magnitude L e direção do fio). Explico as variáveis:
  • \vec{v}: velocidade do fio (m/s).
  • \vec{B}: campo magnético (T).
  • \vec{L}: vetor posição de uma extremidade à outra (m).
  • \varepsilon: fem (V).

Passo 3

Escolha de eixos e decomposição do campo. Para facilitar, defino:
  • x: eixo leste (positivo) — oeste é negativo x.
  • y: eixo norte (positivo).
  • z: eixo para cima (positivo).
Dados vetoriais em símbolos:
  • Velocidade: \vec{v}=v\,\hat{y} com v=0,500\\ \mathrm{m/s}.
  • Comprimento do fio: o fio está leste–oeste, então \vec{L}=L\,\hat{x} se tomarmos \vec{L} indo de oeste para leste, com L=2,00\\ \mathrm{m}.
  • Campo magnético: apontando para o norte e 53,0^\circ abaixo da horizontal. Isso significa que tem componente horizontal ao norte e componente vertical para baixo. Usando trigonometria: \cos53,0^\circ=0,6,\qquad \sin53,0^\circ=0,8.Então, tomando B=50,0\times10^{-6}\\ \mathrm{T}, \vec{B}=B\cos53,0^\circ\,\hat{y}-B\sin53,0^\circ\,\hat{z} = (50,0\times10^{-6}\cdot0,6)\,\hat{y} - (50,0\times10^{-6}\cdot0,8)\,\hat{z}.

Passo 4

Calcular \vec{v}\times\vec{B}. Primeiro calcule as componentes numéricas de \vec{B}:
B_y = 50,0\times10^{-6}\cdot0,6 = 30,0\times10^{-6}\\ \mathrm{T} = 3,00\times10^{-5}\\ \mathrm{T},
B_z = -50,0\times10^{-6}\cdot0,8 = -40,0\times10^{-6}\\ \mathrm{T} = -4,00\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Agora
\vec{v}=0,500\,\hat{y},\qquad \vec{B}=B_y\,\hat{y}+B_z\,\hat{z}.
O produto vetorial:
\vec{v}\times\vec{B} = (0,500\,\hat{y})\times(B_y\,\hat{y}+B_z\,\hat{z}) =0,500\big(B_y\,\hat{y}\times\hat{y} + B_z\,\hat{y}\times\hat{z}\big).
Como \hat{y}\times\hat{y}=0 e \hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}, obtemos
\vec{v}\times\vec{B}=0,500\cdot B_z\,\hat{x}.
Substituindo B_z=-4,00\times10^{-5}\\ \mathrm{T},
\vec{v}\times\vec{B}=0,500\cdot(-4,00\times10^{-5})\,\hat{x} = -2,00\times10^{-5}\\ \hat{x}\\ \mathrm{(V/m)}.
Interpretação: \vec{v}\times\vec{B} aponta na direção -\hat{x}, isto é, para o oeste. Para cargas positivas dentro do fio a força magnética é para o oeste.

Passo 5

Calcular a fem usando \varepsilon=(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{L}. Tomando \vec{L}=L\,\hat{x}=2,00\,\hat{x}\\ \mathrm{m},
\varepsilon = (-2,00\times10^{-5}\\ \hat{x})\cdot(2,00\\ \hat{x}) = -4,00\times10^{-5}\\ \mathrm{V}.
O sinal negativo significa que o potencial na extremidade leste menos o potencial na extremidade oeste é -4,00\times10^{-5}\\ \mathrm{V}, ou seja, a extremidade oeste tem potencial maior. O módulo (valor absoluto) da fem é
|\varepsilon| = 4,00\times10^{-5}\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Interpretação física e resposta à parte (b).
A direção de \vec{v}\times\vec{B} indica a direção da força sobre cargas positivas — aqui para o oeste. Isso empurra cargas positivas para o lado oeste do fio, deixando o lado oeste carregado positivamente e o lado leste com excesso relativo de cargas negativas. Portanto a extremidade oeste fica positiva em relação à leste.
Um jeito mais direto de lembrar: para cargas positivas, \vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}; já calculamos que \vec{v}\times\vec{B} aponta para o oeste, logo oeste é positivo.

Resposta

(a) |\varepsilon| = 4,00\times10^{-5}\\ \mathrm{V}
(b) Oeste

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