Questão 17

Duas bobinas mantidas em posições fixas, têm indutância mútua de 100. Qual é a fem de pico em uma bobina quando a corrente na outra bobina for I(t)=10,0 \operatorname{sen}\left(1,00 \times 10^{3} t\right) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Indutância mútua: M=100. (O enunciado não especificou unidades; para trabalhar em SI vou assumir que isso significa 100\\ \text{mH}, isto é M=0{,}100\\ \text{H}.)
  • Corrente na bobina excitadora:
I(t)=10{,}0\operatorname{sen}\!\bigl(1{,}00\times10^{3}\,t\bigr).
As perguntas implícitas são: qual é a fem induzida (valor de pico) na outra bobina causada por essa corrente variável?
Dados extraídos do enunciado:
  • Amplitude da corrente: I_0=10{,}0\\ \text{A}.
  • Pulsação (frequência angular): \omega=1{,}00\times10^{3}\\ \text{rad/s}.
  • Assumi M=100\\ \text{mH}=0{,}100\\ \text{H}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta):
  • A fem induzida em uma bobina devido à variação de corrente em outra, que tem indutância mútua M com a primeira, é dada pela lei de Faraday aplicada ao acoplamento:
e(t) = -M\,\frac{dI(t)}{dt}.
Explicando cada coisa: e(t) é a força eletromotriz induzida (em volts), M é a indutância mútua (em henrys), I(t) é a corrente que varia na bobina fonte (em amperes). O sinal negativo indica a lei de Lenz (a fem tenta se opor à mudança da corrente). Para achar o pico (valor máximo absoluto) da fem, basta calcular a amplitude da expressão M\,\dfrac{dI}{dt}.

Passo 3

Derivada da corrente: para
I(t)=I_0\operatorname{sen}(\omega t)
temos
\frac{dI}{dt}=I_0\omega\cos(\omega t).
Portanto a fem induzida é
e(t) = -M I_0 \omega \cos(\omega t).
Isto mostra que a fem é uma função cosenoidal; a amplitude (valor de pico, em módulo) é
E_{\text{pico}} = M I_0 \omega.

Passo 4

Substituindo os valores que identificamos:
  • M=0{,}100\\ \text{H},
  • I_0=10{,}0\\ \text{A},
  • \omega=1{,}00\times10^{3}\\ \text{rad/s}.
Calculemos:
E_{\text{pico}} = M I_0 \omega = 0{,}100 \times 10{,}0 \times 1{,}00\times10^{3}.
Fazendo as contas passo a passo:
0{,}100 \times 10{,}0 = 1{,}00,
1{,}00 \times 1{,}00\times10^{3} = 1{,}00\times10^{3}.
Logo o valor numérico da amplitude é 1{,}00\times10^{3} (unidades de volts).

Passo 5

Interpretação final e observação prática:
  • O sinal original da fem é -\cos(\omega t), ou seja, a fem alcança valores positivos e negativos; quando a pergunta pede a “fem de pico” normalmente espera o valor absoluto máximo, que é E_{\text{pico}}=M I_0 \omega.
  • Relembrando: se a unidade adotada para M fosse diferente (por exemplo se M tivesse sido dado em henrys puros sem o prefixo mili), o valor numérico mudaria linearmente com M. Aqui usei a suposição razoável M=100\\ \text{mH}.

Resposta

1{,}00\times10^{3}\\ \text{V}

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