(2.0) - É sabido que podemos calcular as frequências naturais e modos de vibrar de um sistema mecânico sem amortecimento resolvendo a seguinte expressāo:
Sendo
a matriz de inércia do sistema e
a matriz de rigidez. Cite e explique para quais modelos de amortecimento essa metodologia continua sendo válida, ou seja, para quais modelos de amortecimento as frequências naturais e modos de vibrar podem ser calculados independentemente da matriz de amortecimento. Como construir a matriz
em cada caso?
Passo 1
O enunciado dá a equação de autovalores do sistema sem amortecimento
e pede: citar e explicar para quais modelos de amortecimento a metodologia de obter frequências naturais e modos a partir do problema acima continua válida (i.e., onde as frequências naturais e modos podem ser calculados independentemente da matriz de amortecimento
); e explicar como construir
em cada caso.
Informações relevantes do enunciado e do problema que vamos usar:
-
é a matriz de inércia (assume-se simétrica definida positiva). -
é a matriz de rigidez (assume-se simétrica definida positiva). - A equação sem amortecimento fornece os autovalores
e autovetores . - O pedido: identificar os modelos de amortecimento que permitem obter modos e frequências independentemente de
e mostrar como montar nesses casos.
Passo 2
Entendendo a propriedade necessária (intuição + expressão matemática).
Intuitivamente: para que possamos calcular modos e frequências a partir do problema sem amortecimento e depois “colar” o amortecimento sem alterar essa base modal, a matriz
tem de ser tal que ela seja diagonal na base de autovetores do sistema não amortecido. Ou seja, se
é a matriz cujas colunas são os autovetores de
e
, precisamos de
Quando isso ocorre, as equações do movimento na coordenada modal ficam desacopladas e as frequências naturais e modos do problema sem amortecimento permanecem válidos para separar as equações.
Formalmente: considere a transformação modal
onde as colunas de
satisfazem
com
. Se normalizarmos
em massa tal que
então as equações com amortecimento genérico são
Logo, se
for diagonal, cada equação modal é independente e as frequências naturais e modos (colunas de
) são os mesmos do problema sem amortecimento. Se
não for diagonal, as equações permanecem acopladas e as “frequências” do sistema amortecido não são simplesmente as
do caso não amortecido (aparecem autofrequências complexas, modos complexos, etc.).
Passo 3
Modelo 1 — Amortecimento proporcional (Rayleigh): definição, por que funciona e construção de [\mathbf{C}).
Definição e razão:
- Rayleigh (ou amortecimento linear em massa e rigidez) é o caso mais usado e definido por
onde
e
são escalares constantes (determinação prática via medidas ou especificação de atenuação em dois modos).
- Por que funciona: usando as propriedades de ortogonalidade modal,
que é diagonal. Portanto as equações modais ficam desacopladas; assim, os autovetores
e autovalores
obtidos do problema sem amortecimento continuam a formar a base que diagonaliza também
.
Como construir
na prática:
- Resolver o problema sem amortecimento para obter
e e mass-normalizar de modo que . - Escolher
e . Uma forma comum: fixar taxas de amortecimento (razões ) para dois modos de referência e . Para cada modo a relação modal entre e o amortecimento modal equivalente é
Tomando dois modos
e seus
conhecidos, resolve-se o sistema linear
para obter
. Depois, montar
.
Observação prática e limites:
- Rayleigh é simples e diagonaliza na base modal dos modos não amortecidos, portanto atende ao requisito.
- Desvantagem: só controla bem o amortecimento em faixa de frequência; não permite especificar
arbitrários para muitos modos — só ajusta perfeitamente dois modos escolhidos.]
Passo 4
Modelo 2 — Amortecimento clássico (modal) geral: definição, por que funciona e construção de
.
Definição e razão:
- “Amortecimento clássico” (ou amortecimento modal) significa que existe uma base modal
que simultaneamente diagonaliza e . Esse é o caso mais geral que garante independência das frequências/modos do amortecimento: basta que
com
diagonal (não necessariamente a forma
). Então as equações modais são desacopladas.
Como construir
a partir de amortecimento modal desejado:
- Resolva o problema não amortecido e obtenha
(mass-normalizada) e . - Escolha os coeficientes de amortecimento modal desejados
para cada modo (ou escolha os termos de amortecimento modal equivalentes ). - A matriz
que produz exatamente esses amortecimentos modais é
onde
e
. De fato,
diagonal, e cada equação modal tem amortecimento
(ou seja, razão de amortecimento
).
Comentários práticos:
- Este procedimento permite escolher
arbitrários modo a modo; é o mais geral que mantém a propriedade desejada. - Requer conhecer
(logo resolve-se primeiro o problema não amortecido) — que é exatamente o que o enunciado quer permitir.
Passo 5
Casos onde a metodologia NÃO é válida e o que ocorre na prática.
Quando
não é proporcional a
e
nem diagonalizável pela mesma base modal (i.e.,
não é diagonal), então:
- As equações modais ficam acopladas na forma modal e não se obtém um conjunto de equações independentes para cada
. - O sistema amortecido tem autovalores complexos (autovalores do problema de valor próprio completo do sistema amortecido) e modos complexos; as frequências de oscilação amortecidas e as razões de amortecimento devem ser obtidas resolvendo o problema de valores próprios do sistema de primeira ordem (forma de espaço de estados) ou o problema quadrático generalizado
com
complexo. Assim, não se pode simplesmente usar os
do problema não amortecido como frequências do sistema amortecido nem os
como modos reais.
Exemplo típico: amortecedores localizados que introduzem força de amortecimento em um lugar que não respeita a ortogonalidade modal; sistemas com amortecimento não simétrico; alguns amortecimentos dependentes de velocidade com acoplamento entre graus de liberdade.
Passo 6
Resumo prático — o que fazer na prova (receita passo a passo, nível “faça você mesmo”):
-
Resolver o problema sem amortecimento:para obter
e . Mass-normalizar: . -
Se o problema afirma ou você deseja utilizar amortecimento que não altera a base modal, escolha um dos modelos abaixo:
-
Rayleigh (proporcional): escolha
(por exemplo por ajuste em dois modos) e construa Usa-se a relação modalpara ajustar . -
Amortecimento modal (clássico, diagonal em base modal): escolha
para cada modo e construa
-
-
Se
for de qualquer dessas formas, as frequências naturais e modos podem ser obtidos primeiro pelo problema sem amortecimento e depois usar a diagonalização modal para tratar amortecimento. Caso contrário, é necessário resolver o problema amortecido completo (autovalores complexos).
Resposta
Modelos válidos: amortecimento proporcional (Rayleigh) e, mais geralmente, qualquer amortecimento clássico/modal que seja diagonalizável pela mesma base modal do par
.
Construção de
:
- Rayleigh:
, com obtidos por ajuste (por exemplo resolvendo e para dois modos de referência ). - Amortecimento modal (clássico):
, onde é a matriz de autovetores mass-normalizados, e .