(2.0) - É sabido que podemos calcular as frequências naturais e modos de vibrar de um sistema mecânico sem amortecimento resolvendo a seguinte expressāo:
\left(-\omega^{2} \mathbf{M}+\mathbf{K}\right) \mathbf{u}=0
Sendo \mathbf{M} a matriz de inércia do sistema e \mathbf{K} a matriz de rigidez. Cite e explique para quais modelos de amortecimento essa metodologia continua sendo válida, ou seja, para quais modelos de amortecimento as frequências naturais e modos de vibrar podem ser calculados independentemente da matriz de amortecimento. Como construir a matriz \mathbf{C} em cada caso?

Passo 1

O enunciado dá a equação de autovalores do sistema sem amortecimento
\left(-\omega^{2}\mathbf{M}+\mathbf{K}\right)\mathbf{u}=0,
e pede: citar e explicar para quais modelos de amortecimento a metodologia de obter frequências naturais e modos a partir do problema acima continua válida (i.e., onde as frequências naturais e modos podem ser calculados independentemente da matriz de amortecimento \mathbf{C}); e explicar como construir \mathbf{C} em cada caso.
Informações relevantes do enunciado e do problema que vamos usar:
  • \mathbf{M} é a matriz de inércia (assume-se simétrica definida positiva).
  • \mathbf{K} é a matriz de rigidez (assume-se simétrica definida positiva).
  • A equação sem amortecimento fornece os autovalores \omega_i^2 e autovetores \mathbf{\Phi} = [\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\dots].
  • O pedido: identificar os modelos de amortecimento que permitem obter modos e frequências independentemente de \mathbf{C} e mostrar como montar \mathbf{C} nesses casos.

Passo 2

Entendendo a propriedade necessária (intuição + expressão matemática).
Intuitivamente: para que possamos calcular modos e frequências a partir do problema sem amortecimento e depois “colar” o amortecimento sem alterar essa base modal, a matriz \mathbf{C} tem de ser tal que ela seja diagonal na base de autovetores do sistema não amortecido. Ou seja, se \mathbf{\Phi} é a matriz cujas colunas são os autovetores de \mathbf{K} e \mathbf{M}, precisamos de
\mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{C}\,\mathbf{\Phi}=\text{matriz diagonal}.
Quando isso ocorre, as equações do movimento na coordenada modal ficam desacopladas e as frequências naturais e modos do problema sem amortecimento permanecem válidos para separar as equações.
Formalmente: considere a transformação modal
\mathbf{u}=\mathbf{\Phi}\,\mathbf{q},
onde as colunas de \mathbf{\Phi} satisfazem
\mathbf{K}\mathbf{\Phi}=\mathbf{M}\mathbf{\Phi}\,\mathbf{\Omega}^{2},
com \mathbf{\Omega}^{2}=\operatorname{diag}(\omega_{1}^{2},\omega_{2}^{2},\dots). Se normalizarmos \mathbf{\Phi} em massa tal que
\mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{M}\mathbf{\Phi}=\mathbf{I}, \qquad \mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{K}\mathbf{\Phi}=\mathbf{\Omega}^{2},
então as equações com amortecimento genérico são
\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{C}\mathbf{\Phi}\,\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{\Omega}^{2}\mathbf{q}=0.
Logo, se \mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{C}\mathbf{\Phi} for diagonal, cada equação modal é independente e as frequências naturais e modos (colunas de \mathbf{\Phi}) são os mesmos do problema sem amortecimento. Se \mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{C}\mathbf{\Phi} não for diagonal, as equações permanecem acopladas e as “frequências” do sistema amortecido não são simplesmente as \omega_i do caso não amortecido (aparecem autofrequências complexas, modos complexos, etc.).

Passo 3

Modelo 1 — Amortecimento proporcional (Rayleigh): definição, por que funciona e construção de [\mathbf{C}).
Definição e razão:
  • Rayleigh (ou amortecimento linear em massa e rigidez) é o caso mais usado e definido por
\mathbf{C}=\alpha\,\mathbf{M}+\beta\,\mathbf{K},
onde \alpha e \beta são escalares constantes (determinação prática via medidas ou especificação de atenuação em dois modos).
  • Por que funciona: usando as propriedades de ortogonalidade modal,
\mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{C}\mathbf{\Phi} =\alpha\,\mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{M}\mathbf{\Phi}+\beta\,\mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{K}\mathbf{\Phi} =\alpha\,\mathbf{I}+\beta\,\mathbf{\Omega}^{2},
que é diagonal. Portanto as equações modais ficam desacopladas; assim, os autovetores \mathbf{\Phi} e autovalores \omega_i^2 obtidos do problema sem amortecimento continuam a formar a base que diagonaliza também \mathbf{C}.
Como construir \mathbf{C} na prática:
  1. Resolver o problema sem amortecimento para obter \{\omega_i\} e \mathbf{\Phi} e mass-normalizar \mathbf{\Phi} de modo que \mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{M}\mathbf{\Phi}=\mathbf{I}.
  2. Escolher \alpha e \beta. Uma forma comum: fixar taxas de amortecimento (razões \zeta) para dois modos de referência r e s. Para cada modo i a relação modal entre \alpha,\beta e o amortecimento modal equivalente é
2\zeta_{i}\omega_{i}=\alpha+\beta\omega_{i}^{2}.
Tomando dois modos r,s e seus \zeta_r,\zeta_s conhecidos, resolve-se o sistema linear
\begin{cases} \alpha+\beta\omega_{r}^{2}=2\zeta_{r}\omega_{r},\\[4pt] \alpha+\beta\omega_{s}^{2}=2\zeta_{s}\omega_{s}, \end{cases}
para obter \alpha\] e \(\beta. Depois, montar \mathbf{C}=\alpha\mathbf{M}+\beta\mathbf{K}.
Observação prática e limites:
  • Rayleigh é simples e diagonaliza na base modal dos modos não amortecidos, portanto atende ao requisito.
  • Desvantagem: só controla bem o amortecimento em faixa de frequência; não permite especificar \zeta_i arbitrários para muitos modos — só ajusta perfeitamente dois modos escolhidos.]

Passo 4

Modelo 2 — Amortecimento clássico (modal) geral: definição, por que funciona e construção de \mathbf{C}.
Definição e razão:
  • “Amortecimento clássico” (ou amortecimento modal) significa que existe uma base modal \mathbf{\Phi} que simultaneamente diagonaliza \mathbf{M},\mathbf{K} e \mathbf{C}. Esse é o caso mais geral que garante independência das frequências/modos do amortecimento: basta que
\mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{C}\mathbf{\Phi}=\mathbf{D},
com \mathbf{D} diagonal (não necessariamente a forma \alpha\mathbf{I}+\beta\mathbf{\Omega}^2). Então as equações modais são desacopladas.
Como construir \mathbf{C} a partir de amortecimento modal desejado:
  1. Resolva o problema não amortecido e obtenha \mathbf{\Phi} (mass-normalizada) e \mathbf{\Omega}=\operatorname{diag}(\omega_i).
  2. Escolha os coeficientes de amortecimento modal desejados \zeta_i para cada modo (ou escolha os termos de amortecimento modal equivalentes c_i).
  3. A matriz \mathbf{C} que produz exatamente esses amortecimentos modais é
\mathbf{C}=\mathbf{M}\,\mathbf{\Phi}\,\bigl(2\,\mathbf{Z}\,\mathbf{\Omega}\bigr)\,\mathbf{\Phi}^{T},
onde \mathbf{Z}=\operatorname{diag}(\zeta_i) e \mathbf{\Omega}=\operatorname{diag}(\omega_i). De fato,
\mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{C}\mathbf{\Phi}=2\,\mathbf{Z}\,\mathbf{\Omega},
diagonal, e cada equação modal tem amortecimento 2\zeta_i\omega_i (ou seja, razão de amortecimento \zeta_i).
Comentários práticos:
  • Este procedimento permite escolher \zeta_i arbitrários modo a modo; é o mais geral que mantém a propriedade desejada.
  • Requer conhecer \mathbf{\Phi} (logo resolve-se primeiro o problema não amortecido) — que é exatamente o que o enunciado quer permitir.

Passo 5

Casos onde a metodologia NÃO é válida e o que ocorre na prática.
Quando \mathbf{C} não é proporcional a \mathbf{M} e \mathbf{K} nem diagonalizável pela mesma base modal (i.e., \mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{C}\mathbf{\Phi} não é diagonal), então:
  • As equações modais ficam acopladas na forma modal e não se obtém um conjunto de equações independentes para cada q_i.
  • O sistema amortecido tem autovalores complexos (autovalores do problema de valor próprio completo do sistema amortecido) e modos complexos; as frequências de oscilação amortecidas e as razões de amortecimento devem ser obtidas resolvendo o problema de valores próprios do sistema de primeira ordem (forma de espaço de estados) ou o problema quadrático generalizado
\left(\lambda^{2}\mathbf{M}+\lambda\mathbf{C}+\mathbf{K}\right)\mathbf{u}=0
com \lambda complexo. Assim, não se pode simplesmente usar os \omega_i do problema não amortecido como frequências do sistema amortecido nem os \mathbf{u}_i como modos reais.
Exemplo típico: amortecedores localizados que introduzem força de amortecimento em um lugar que não respeita a ortogonalidade modal; sistemas com amortecimento não simétrico; alguns amortecimentos dependentes de velocidade com acoplamento entre graus de liberdade.

Passo 6

Resumo prático — o que fazer na prova (receita passo a passo, nível “faça você mesmo”):
  1. Resolver o problema sem amortecimento:
    \left(\mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M}\right)\mathbf{u}=0
    para obter \omega_i e \mathbf{\Phi}. Mass-normalizar: \mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{M}\mathbf{\Phi}=\mathbf{I}.
  2. Se o problema afirma ou você deseja utilizar amortecimento que não altera a base modal, escolha um dos modelos abaixo:
    • Rayleigh (proporcional): escolha \alpha,\beta (por exemplo por ajuste em dois modos) e construa
      \mathbf{C}=\alpha\,\mathbf{M}+\beta\,\mathbf{K}.
      Usa-se a relação modal 2\zeta_i\omega_i=\alpha+\beta\omega_i^2 para ajustar \alpha,\beta.
    • Amortecimento modal (clássico, diagonal em base modal): escolha \zeta_i para cada modo e construa
      \mathbf{C}=\mathbf{M}\,\mathbf{\Phi}\,\bigl(2\,\mathbf{Z}\,\mathbf{\Omega}\bigr)\,\mathbf{\Phi}^{T}, \quad\text{com}\quad \mathbf{Z}=\operatorname{diag}(\zeta_i),\\ \mathbf{\Omega}=\operatorname{diag}(\omega_i).
  3. Se \mathbf{C} for de qualquer dessas formas, as frequências naturais e modos podem ser obtidos primeiro pelo problema sem amortecimento e depois usar a diagonalização modal para tratar amortecimento. Caso contrário, é necessário resolver o problema amortecido completo (autovalores complexos).

Resposta

Modelos válidos: amortecimento proporcional (Rayleigh) e, mais geralmente, qualquer amortecimento clássico/modal que seja diagonalizável pela mesma base modal do par (\mathbf{M},\mathbf{K}).
Construção de \mathbf{C}:
  • Rayleigh: \displaystyle \mathbf{C}=\alpha\,\mathbf{M}+\beta\,\mathbf{K}, com \alpha,\beta obtidos por ajuste (por exemplo resolvendo \alpha+\beta\omega_{r}^{2}=2\zeta_{r}\omega_{r} e \alpha+\beta\omega_{s}^{2}=2\zeta_{s}\omega_{s} para dois modos de referência r,s).
  • Amortecimento modal (clássico): \displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{M}\,\mathbf{\Phi}\,\bigl(2\,\mathbf{Z}\,\mathbf{\Omega}\bigr)\,\mathbf{\Phi}^{T}, onde \mathbf{\Phi} é a matriz de autovetores mass-normalizados, \mathbf{\Omega}=\operatorname{diag}(\omega_i) e \mathbf{Z}=\operatorname{diag}(\zeta_i).

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