Considere as equações x+y=u v e x y=u-v, onde x=x(u, v) e y=y(u, v) são funções diferenciáveis. Mostrar que
partial xpartial u=(x v-1)x-y, x neq y
similarmente, encontre fórmulas para partial xpartial v, partial ypartial u e partial ypartial v.

Passo 1

O enunciado nos dá duas relações implícitas entre x, y, u e v:
x+y = u,v,
x,y = u - v,
onde x=x(u,v) e y=y(u,v) são diferenciáveis. O conteúdo é diferenciação implícita para achar partial x/partial u, partial x/partial v, partial y/partial u e partial y/partial v.

Passo 2

Diferenciando em u (com v constante) em cada equação, usamos regra da soma e do produto:
partial xpartial u + partial ypartial u = v
y,partial xpartial u ;+; x,partial ypartial u = 1

Passo 3

Da primeira linha vem
partial ypartial u = v - partial xpartial u
Substituindo na segunda:
y,partial xpartial u + xl(v - partial xpartial ur)=1 ;Longrightarrow; (y - x),partial xpartial u=1 - x,v
Logo
partial xpartial u =1 - x,vy - x =x,v - 1x - y,
e então
partial ypartial u = v - 1 - x,vy - x =y,v - 1y - x

Passo 4

Agora diferenciamos em v (com u constante):
partial xpartial v + partial ypartial v = u
y,partial xpartial v ;+; x,partial ypartial v = -1

Passo 5

Da primeira destas vem
partial ypartial v = u - partial xpartial v
Substituindo na segunda:
y,partial xpartial v + xl(u - partial xpartial vr) = -1 ;Longrightarrow; (y - x),partial xpartial v = -,x,u - 1
Logo
partial xpartial v =-x,u + 1y - x =x,u + 1x - y,
e
partial ypartial v = u - x,u + 1x - y =y,u + 1y - x

Resposta

partial xpartial u = x,v - 1x - y, partial xpartial v = x,u + 1x - y,
partial ypartial u = y,v - 1y - x, partial ypartial v = y,u + 1y - x

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