Determine se a série é convergente ou divergente
sumn=2^infty 1n(ln n)^2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=2^infty 1n(ln n)^2
é convergente ou divergente.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos, especificamente o teste da integral impropria.

Passo 2

Para aplicar o teste da integral, associamos à série a função
f(x)=1x(ln x)^2, x>=2
Note que para x>=2 temos f(x)>0. Além disso,
f'(x) =-1+2ln xx^2(ln x)^3<0 (para x>=2),
ou seja, f é decrescente em [2,infty). Portanto, as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria correspondente:
integral2^inftydxx(ln x)^2
Fazendo a mudança de variável t=ln x, segue dt=dxx e quando xto2 temos ttoln2, enquanto xtoinfty ttoinfty. Assim
integral2^inftydxx(ln x)^2 =integralln2^inftyt^-2,dt =l[-tfrac1tr]ln2^infty =1ln2,
que é finito.

Passo 4

Como a integral imprópria converge, o teste da integral garante que a série
sumn=2^infty1n(ln n)^2
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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