Determine se a série é convergente ou divergente
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos, especificamente o teste da integral impropria.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos, especificamente o teste da integral impropria.
Passo 2
Para aplicar o teste da integral, associamos à série a função
Note que para
temos
. Além disso,
ou seja,
é decrescente em
. Portanto, as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria correspondente:
Fazendo a mudança de variável
, segue
e quando
temos
, enquanto
dá
. Assim
que é finito.
Passo 4
Como a integral imprópria converge, o teste da integral garante que a série
também converge.
Resposta
A série é convergente.