Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
f(x, y)=ccc x^2x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)= x^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
e pede o conjunto de pontos em que f é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, usando continuidade de quociente de funções e o critério de limite no ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) o denominador x^2+y^2 é estritamente positivo, logo
(x,y)mapsto x^2, (x,y)mapsto x^2+y^2
são contínuas e a divisão de funções contínuas (com denominador não nulo) preserva a continuidade. Assim f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) temos f(0,0)=0. Para verificar continuidade ali, estudamos
lim(x,y)to(0,0)x^2x^2+y^2
Tomando a reta y=kx,
f(x,kx) =x^2x^2+(kx)^2 =x^2x^2(1+k^2) =11+k^2,
que depende de k. Por exemplo, ao longo de y=0 o limite vale 1, e ao longo de y=x vale 1/2. Como esses resultados são diferentes, o limite não existe e, em particular, não vale 0. Logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em todos os pontos (x,y) tais que (x,y)neq(0,0), isto é, no conjunto
R^2setminus(0,0)

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