Considere as equações para a propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo:
nabla^2 E-1c^2 partial^2 Epartial t^2=0
e
nabla^2 B-1c^2 partial^2 Bpartial t^2=0
Considere uma onda eletromagnética cujas frentes de onda são planos perpendiculares ao eixo z. Nestes planos os vetores campo elétrico e magnético associados à onda eletromagnética independem dos valores das coordenadas ( x, y ). Partindo de uma solução do tipo E(x, y, z)= ReEs(z) exp [-i omega t], onde Re[f(t)] significa a parte real da função complexa f(t), mostre que o vetor campo elétrico pode ser escrito na forma:
E(x, y, z, t)=(E0 x imath+E0 y jmath) cos (k z-omega t)
ou ainda:
E(x, y, z, t)=Re(E0 x imath+E0 y jmath) exp [i(k z-omega t)]

Passo 1

Beleza! Vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente precisa trabalhar com as equações que descrevem como as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo. O objetivo é mostrar que o campo elétrico dessa onda pode ser representado de duas formas específicas usando funções trigonométricas e exponenciais complexas. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial e equações de ondas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da solução que nos foi dada:
E(x, y, z) = ReEs(z) exp [-i omega t]
Aqui, Es(z) é a parte espacial do campo elétrico e exp[-i omega t] representa a variação temporal da onda, onde omega é a frequência angular. A função Re indica que vamos considerar apenas a parte real dessa expressão, já que os campos físicos são valores reais.

Passo 3

Como as frentes de onda são planos perpendiculares ao eixo z, isso significa que a onda se propaga ao longo do eixo z. Além disso, os campos elétrico e magnético não dependem de x e y. Então, podemos simplificar Es(z) assumindo que sua variação está apenas em z.

Passo 4

Vamos supor que a parte espacial do campo elétrico Es(z) tem a forma de uma função exponencial complexa que depende de z. Ou seja:
Es(z) = E0 exp(ikz)
Aqui, E0 é a amplitude do campo elétrico e k é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda da onda eletromagnética.

Passo 5

Substituindo essa forma de Es(z) na expressão original, temos:
E(x, y, z, t) = ReE0 exp(ikz) exp[-i omega t]
Usando a propriedade das exponenciais, podemos combinar os termos:
E(x, y, z, t) = ReE0 exp[i(kz - omega t)]

Passo 6

Agora, para deixar a expressão em termos de cosseno, sabemos que a parte real de exp[itheta] é cos(theta). Portanto:
E(x, y, z, t) = E0 cos(kz - omega t)

Passo 7

Finalmente, podemos escrever E0 como uma combinação das componentes nos eixos x e y. Ou seja:
E0 = E0x imath + E0y jmath
Substituindo de volta, temos:
E(x, y, z, t) = (E0x imath + E0y jmath) cos(kz - omega t)
Ou, mantendo a expressão com a parte real das exponenciais:
E(x, y, z, t) = Re(E0x imath + E0y jmath) exp[i(kz - omega t)]

Resposta

Portanto, mostramos que o vetor campo elétrico pode ser escrito como:
E(x, y, z, t) = (E0x imath + E0y jmath) cos(kz - omega t)
ou
E(x, y, z, t) = Re(E0x imath + E0y jmath) exp[i(kz - omega t)]

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