Considere as equações para a propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo:
e
Considere uma onda eletromagnética cujas frentes de onda são planos perpendiculares ao eixo
. Nestes planos os vetores campo elétrico e magnético associados à onda eletromagnética independem dos valores das coordenadas (
). Partindo de uma solução do tipo
, onde
significa a parte real da função complexa
, mostre que o vetor campo elétrico pode ser escrito na forma:
ou ainda:
Passo 1
Beleza! Vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente precisa trabalhar com as equações que descrevem como as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo. O objetivo é mostrar que o campo elétrico dessa onda pode ser representado de duas formas específicas usando funções trigonométricas e exponenciais complexas. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial e equações de ondas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da solução que nos foi dada:
Aqui,
é a parte espacial do campo elétrico e
representa a variação temporal da onda, onde
é a frequência angular. A função
indica que vamos considerar apenas a parte real dessa expressão, já que os campos físicos são valores reais.
Passo 3
Como as frentes de onda são planos perpendiculares ao eixo
, isso significa que a onda se propaga ao longo do eixo
. Além disso, os campos elétrico e magnético não dependem de
e
. Então, podemos simplificar
assumindo que sua variação está apenas em
.
Passo 4
Vamos supor que a parte espacial do campo elétrico
tem a forma de uma função exponencial complexa que depende de
. Ou seja:
Aqui,
é a amplitude do campo elétrico e
é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda da onda eletromagnética.
Passo 5
Substituindo essa forma de
na expressão original, temos:
Usando a propriedade das exponenciais, podemos combinar os termos:
Passo 6
Agora, para deixar a expressão em termos de cosseno, sabemos que a parte real de
é
. Portanto:
Passo 7
Finalmente, podemos escrever
como uma combinação das componentes nos eixos
e
. Ou seja:
Substituindo de volta, temos:
Ou, mantendo a expressão com a parte real das exponenciais:
Resposta
Portanto, mostramos que o vetor campo elétrico pode ser escrito como:
ou