Considere as equações para a propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo:
nabla^2 E-1c^2 partial^2 Epartial t^2=0
e
nabla^2 B-1c^2 partial^2 Bpartial t^2=0
A partir das equações de Maxwell obtenha a componente magnética da onda. Mostre que a mesma é ortogonal à componente elétrica e que ambas são ortogonais à direção de propagação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a partir das equações de Maxwell, que descrevem como os campos elétrico ( E) e magnético ( B) se comportam no vácuo, a gente encontrar a componente magnética da onda eletromagnética. Além disso, precisamos mostrar que o campo magnético é ortogonal ao elétrico e que ambos são ortogonais à direção de propagação da onda. Vamos precisar entender um pouco das equações de Maxwell e como elas descrevem ondas eletromagnéticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações de Maxwell no vácuo que são relevantes para nosso caso:
nabla times E = -partial Bpartial t
nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Essas equações relacionam as variações temporais e espaciais dos campos elétrico e magnético.

Passo 3

Agora, vamos considerar uma onda eletromagnética plana que se propaga na direção z. Podemos escrever os campos elétrico e magnético como:
E(z, t) = E0 x cos(kz - omega t)
B(z, t) = B0 y cos(kz - omega t)
Aqui, E0 e B0 são as amplitudes dos campos, k é o número de onda, e omega é a frequência angular da onda.

Passo 4

Vamos usar a primeira equação de Maxwell para relacionar E e B. Calculando o rotacional de E:
nabla times E = ( partial Ezpartial y - partial Eypartial z ) x + ( partial Expartial z - partial Ezpartial x ) y + ( partial Eypartial x - partial Expartial y ) z
Como E está apenas na direção x e depende somente de z e t, o rotacional simplifica para:
nabla times E = partial Expartial z y
Comparando com a equação de Maxwell:
partial Expartial z y = -partial Bpartial t

Passo 5

Calculando a derivada temporal de B:
partial Bpartial t = -B0 omega y sin(kz - omega t)
E a derivada espacial de E:
partial Expartial z = -E0 k sin(kz - omega t)
Igualando as duas expressões:
-E0 k sin(kz - omega t) = B0 omega sin(kz - omega t)
Isso implica que:
E0 k = B0 omega

Passo 6

Sabemos que para ondas eletromagnéticas no vácuo, a velocidade de propagação c está relacionada a k e omega por:
c = omegak
Substituindo na equação anterior:
E0 = B0 c
Isso nos mostra como as amplitudes dos campos elétrico e magnético estão relacionadas.

Passo 7

Agora, vamos mostrar que E e B são ortogonais. Observando as expressões:
E = E0 x cos(kz - omega t)
B = B0 y cos(kz - omega t)
Claramente, E está na direção x e B na direção y, que são mutuamente ortogonais.

Passo 8

Por fim, a direção de propagação da onda é z, e tanto E quanto B estão nas direções x e y, respectivamente, que também são ortogonais à direção de propagação z.

Resposta

A componente magnética da onda eletromagnética no vácuo é B = B0 y cos(kz - omega t). Além disso, os campos elétrico E e magnético B são ortogonais entre si e ambos são ortogonais à direção de propagação da onda.

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