Considere as equações para a propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo:
e
A partir das equações de Maxwell obtenha a componente magnética da onda. Mostre que a mesma é ortogonal à componente elétrica e que ambas são ortogonais à direção de propagação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a partir das equações de Maxwell, que descrevem como os campos elétrico (
) e magnético (
) se comportam no vácuo, a gente encontrar a componente magnética da onda eletromagnética. Além disso, precisamos mostrar que o campo magnético é ortogonal ao elétrico e que ambos são ortogonais à direção de propagação da onda. Vamos precisar entender um pouco das equações de Maxwell e como elas descrevem ondas eletromagnéticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das equações de Maxwell no vácuo que são relevantes para nosso caso:
Essas equações relacionam as variações temporais e espaciais dos campos elétrico e magnético.
Passo 3
Agora, vamos considerar uma onda eletromagnética plana que se propaga na direção
. Podemos escrever os campos elétrico e magnético como:
Aqui,
e
são as amplitudes dos campos,
é o número de onda, e
é a frequência angular da onda.
Passo 4
Vamos usar a primeira equação de Maxwell para relacionar
e
. Calculando o rotacional de
:
Como
está apenas na direção
e depende somente de
e
, o rotacional simplifica para:
Comparando com a equação de Maxwell:
Passo 5
Calculando a derivada temporal de
:
E a derivada espacial de
:
Igualando as duas expressões:
Isso implica que:
Passo 6
Sabemos que para ondas eletromagnéticas no vácuo, a velocidade de propagação
está relacionada a
e
por:
Substituindo na equação anterior:
Isso nos mostra como as amplitudes dos campos elétrico e magnético estão relacionadas.
Passo 7
Agora, vamos mostrar que
e
são ortogonais. Observando as expressões:
Claramente,
está na direção
e
na direção
, que são mutuamente ortogonais.
Passo 8
Por fim, a direção de propagação da onda é
, e tanto
quanto
estão nas direções
e
, respectivamente, que também são ortogonais à direção de propagação
.
Resposta
A componente magnética da onda eletromagnética no vácuo é
. Além disso, os campos elétrico
e magnético
são ortogonais entre si e ambos são ortogonais à direção de propagação da onda.