Considere as equações para a propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo:
nabla^2 E-1c^2 partial^2 Epartial t^2=0
e
nabla^2 B-1c^2 partial^2 Bpartial t^2=0
Calcule o vetor de Poyting para a onda, i.e., S=E times Bmu0. A partir do resultado obtido calcule o valor médio do módulo do vetor de Poyting, i.e., <|S|>=1T integral0^T|S| d t. O que se pode concluir a partir do resultado obtido ? Justifique detalhadamente as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o vetor de Poynting, que é fundamental para entender como a energia se propaga em ondas eletromagnéticas no vácuo. Além disso, precisamos calcular o valor médio do módulo desse vetor ao longo do tempo e concluir algo a partir desse resultado. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de Eletromagnetismo, mais especificamente sobre ondas eletromagnéticas e o vetor de Poynting. Vamos precisar das equações das ondas para os campos elétrico E e magnético B, além das fórmulas para o vetor de Poynting e cálculo de integrais para encontrar o valor médio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor de Poynting. Ele é definido como S = E times Bmu0, onde E é o campo elétrico, B é o campo magnético e mu0 é a permeabilidade do vácuo. Esse vetor representa a densidade de fluxo de energia das ondas eletromagnéticas, ou seja, quanto de energia está passando por um determinado ponto por unidade de tempo.

Passo 3

Para calcular S, precisamos conhecer as expressões para E e B. Sabemos que, para ondas eletromagnéticas no vácuo, os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e à direção de propagação, e estão relacionados por:
B = 1c k times E
onde c é a velocidade da luz no vácuo e k é o vetor unitário na direção de propagação.

Passo 4

Substituindo a expressão de B na fórmula do vetor de Poynting:
S = E times Bmu0 = E times ( 1mu0 c k times E )
Vamos simplificar essa expressão usando a identidade vetorial: A times (B times C) = B (A cdot C) - C (A cdot B). Como E é perpendicular a k, o produto escalar E cdot k é zero, então:
S = 1mu0 c E times (k times E) = 1mu0 c k (E cdot E) = 1mu0 c |E|^2 k

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo do vetor de Poynting:
|S| = 1mu0 c |E|^2
Para encontrar o valor médio desse módulo ao longo do tempo, usamos a integral definida:
<|S|> = 1T integral0^T |S| , dt = 1mu0 c T integral0^T |E|^2 , dt

Passo 6

Sabemos que, para uma onda senoidal, o valor médio do quadrado da amplitude é metade do quadrado da amplitude máxima. Ou seja:
1T integral0^T |E|^2 , dt = |E0|^22
onde |E0| é a amplitude máxima do campo elétrico.
Substituindo na expressão do valor médio do módulo do vetor de Poynting:
<|S|> = 1mu0 c cdot |E0|^22 = |E0|^22 mu0 c

Resposta

O vetor de Poynting para a onda é dado por S = |E|^2mu0 c k. O valor médio do módulo do vetor de Poynting ao longo do tempo é <|S|> = |E0|^22 mu0 c. A partir desse resultado, podemos concluir que a energia transportada pela onda eletromagnética no vácuo é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico e que essa energia se propaga na direção da onda com uma densidade média constante. Isso confirma que as ondas eletromagnéticas carregam energia e momentum, propagando-se de forma constante no espaço.

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