Considere as equações para a propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo:
e
Calcule o vetor de Poyting para a onda, i.e.,
. A partir do resultado obtido calcule o valor médio do módulo do vetor de Poyting, i.e.,
. O que se pode concluir a partir do resultado obtido ? Justifique detalhadamente as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o vetor de Poynting, que é fundamental para entender como a energia se propaga em ondas eletromagnéticas no vácuo. Além disso, precisamos calcular o valor médio do módulo desse vetor ao longo do tempo e concluir algo a partir desse resultado. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de Eletromagnetismo, mais especificamente sobre ondas eletromagnéticas e o vetor de Poynting. Vamos precisar das equações das ondas para os campos elétrico
e magnético
, além das fórmulas para o vetor de Poynting e cálculo de integrais para encontrar o valor médio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor de Poynting. Ele é definido como
, onde
é o campo elétrico,
é o campo magnético e
é a permeabilidade do vácuo. Esse vetor representa a densidade de fluxo de energia das ondas eletromagnéticas, ou seja, quanto de energia está passando por um determinado ponto por unidade de tempo.
Passo 3
Para calcular
, precisamos conhecer as expressões para
e
. Sabemos que, para ondas eletromagnéticas no vácuo, os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e à direção de propagação, e estão relacionados por:
onde
é a velocidade da luz no vácuo e
é o vetor unitário na direção de propagação.
Passo 4
Substituindo a expressão de
na fórmula do vetor de Poynting:
Vamos simplificar essa expressão usando a identidade vetorial:
. Como
é perpendicular a
, o produto escalar
é zero, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo do vetor de Poynting:
Para encontrar o valor médio desse módulo ao longo do tempo, usamos a integral definida:
Passo 6
Sabemos que, para uma onda senoidal, o valor médio do quadrado da amplitude é metade do quadrado da amplitude máxima. Ou seja:
onde
é a amplitude máxima do campo elétrico.
Substituindo na expressão do valor médio do módulo do vetor de Poynting:
Resposta
O vetor de Poynting para a onda é dado por
. O valor médio do módulo do vetor de Poynting ao longo do tempo é
. A partir desse resultado, podemos concluir que a energia transportada pela onda eletromagnética no vácuo é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico e que essa energia se propaga na direção da onda com uma densidade média constante. Isso confirma que as ondas eletromagnéticas carregam energia e momentum, propagando-se de forma constante no espaço.