Considere uma onda eletromagnética se propagando no vácuo, cuja componente magnética seja descrita por:
B(x, y, z, t)=(B0 x imath+B0 y jmath) cos (k z) cos (omega t)
onde B0X e B0Y são constantes e i, j são os versores de base do sistema de coordenadas cartesianas.
Calcule o vetor de Poynting.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma onda eletromagnética que está se espalhando no vácuo e nos dá a componente magnética dessa onda. Nosso objetivo é calcular o vetor de Poynting, que nos mostra a direção e a intensidade da energia que a onda está transportando.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de eletromagnetismo, como as relações entre os campos elétrico ($ \vec{E} E é \vec{B} $) em ondas eletromagnéticas, e como calcular o vetor de Poynting usando esses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, os campos elétrico e magnético estão sempre perpendiculares entre si e também perpendiculares à direção de propagação da onda. Além disso, a magnitude desses campos está relacionada pela velocidade da luz ($ c $), que é aproximadamente $ 3 \times 10^8 $ m/s.
A relação entre os campos elétrico e magnético é dada por:
c
onde $ \hat{k} $ é o versor na direção de propagação da onda.

Passo 3

No enunciado, a onda está se propagando ao longo do eixo $ z $, então $ \hat{k} = \hat{k}_z $. Vamos calcular o campo elétrico $ \vec{E} $ usando a relação acima.
Primeiro, identificamos o campo magnético dado:
z
Agora, calculamos o produto vetorial $ \hat{k} \times \vec{B} $:
k = kz
Lembrando das regras do produto vetorial:
E
Portanto:
B(x, y, z, t) = (B0x imath + B0y jmath) cos(k z) cos(omega t)

Passo 4

Agora, substituímos de volta na equação para $ \vec{E} $:
E
Então, o campo elétrico é:
E = c ( B0x jmath - B0y imath ) cos(k z) cos(omega t)

Passo 5

Agora que temos os campos elétrico $ \vec{E} $ e magnético $ \vec{B} $, podemos calcular o vetor de Poynting $ \vec{S} $, que é dado por:
E
onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} $ T·m/A).
Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{E} \times \vec{B} $.

Passo 6

Vamos fazer passo a passo o produto vetorial $ \vec{E} \times \vec{B} $.
Primeiro, escrevemos os campos:
E times B
E = ( -c B0y imath + c B0x jmath ) cos(k z) cos(omega t)
O produto vetorial $ \vec{E} \times \vec{B} $ será:
B = ( B0x imath + B0y jmath ) cos(k z) cos(omega t)
Calculando cada termo:
E times B
E times B = ( -c B0y imath + c B0x jmath ) times ( B0x imath + B0y jmath ) cos^2(k z) cos^2(omega t)
(-c B0y imath) times (B0x imath) = 0
(-c B0y imath) times (B0y jmath) = -c B0y^2 k
Somando os termos:
(c B0x jmath) times (B0x imath) = c B0x^2 k
Simplificando:
(c B0x jmath) times (B0y jmath) = 0

Passo 7

Agora, substituímos $ \vec{E} \times \vec{B} $ na fórmula do vetor de Poynting:
E times B
Simplificando, usamos a relação $ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} $, mas para mantermos a expressão em termos de $ c $ e $ \mu_0 $, a fórmula final fica:

Resposta

S = cmu0 ( B0x^2 - B0y^2 ) cos^2(k z) cos^2(omega t) , k

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