Considere uma onda eletromagnética se propagando no vácuo, cuja componente magnética seja descrita por:
onde
e
são constantes e
são os versores de base do sistema de coordenadas cartesianas.
Calcule o vetor de Poynting.
Calcule o vetor de Poynting.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma onda eletromagnética que está se espalhando no vácuo e nos dá a componente magnética dessa onda. Nosso objetivo é calcular o vetor de Poynting, que nos mostra a direção e a intensidade da energia que a onda está transportando.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de eletromagnetismo, como as relações entre os campos elétrico ($ \vec{E}
\vec{B} $) em ondas eletromagnéticas, e como calcular o vetor de Poynting usando esses campos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, os campos elétrico e magnético estão sempre perpendiculares entre si e também perpendiculares à direção de propagação da onda. Além disso, a magnitude desses campos está relacionada pela velocidade da luz ($ c $), que é aproximadamente $ 3 \times 10^8 $ m/s.
A relação entre os campos elétrico e magnético é dada por:
onde $ \hat{k} $ é o versor na direção de propagação da onda.
Passo 3
No enunciado, a onda está se propagando ao longo do eixo $ z $, então $ \hat{k} = \hat{k}_z $. Vamos calcular o campo elétrico $ \vec{E} $ usando a relação acima.
Primeiro, identificamos o campo magnético dado:
Agora, calculamos o produto vetorial $ \hat{k} \times \vec{B} $:
Lembrando das regras do produto vetorial:
Portanto:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na equação para $ \vec{E} $:
Então, o campo elétrico é:
Passo 5
Agora que temos os campos elétrico $ \vec{E} $ e magnético $ \vec{B} $, podemos calcular o vetor de Poynting $ \vec{S} $, que é dado por:
onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} $ T·m/A).
Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{E} \times \vec{B} $.
Passo 6
Vamos fazer passo a passo o produto vetorial $ \vec{E} \times \vec{B} $.
Primeiro, escrevemos os campos:
O produto vetorial $ \vec{E} \times \vec{B} $ será:
Calculando cada termo:
Somando os termos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos $ \vec{E} \times \vec{B} $ na fórmula do vetor de Poynting:
Simplificando, usamos a relação $ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} $, mas para mantermos a expressão em termos de $ c $ e $ \mu_0 $, a fórmula final fica: