Considere as equações:
2
  1. raiz2 x+raiz6 x^2+1=x+1
    II) raizx+2-raiz3 x-5=-1
    0.91 PONTOS
    III) x^6-9 x^3+8=0
    A soma das raízes das equações é:
    a. 14
    b. 12
    C. 9
    d. 18
    checkmark
    e. 10

Passo 1

Queremos resolver três equações envolvendo radicais e um polinômio e depois somar todas as raízes reais encontradas.

Passo 2

Para a equação I, raiz2x+raiz6x^2+1=x+1: estabelecemos o domínio x+1>=0 logo x>=-1. Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos
2x+raiz6x^2+1=(x+1)^2=x^2+2x+1
Isolando a raiz interna e quadrando de novo:
raiz6x^2+1=x^2+1
6x^2+1=(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1
que leva a
x^2(x^2-4)=0
Assim x=0,,2,,-2, mas pelo domínio só valem x=0 e x=2, que de fato satisfazem a equação original.

Passo 3

Para a equação II, raizx+2-raiz3x-5=-1: o domínio exige x+2>=0 e 3x-5>=0, isto é x>=5/3, e da forma resultante vemos que precisamos também de raiz3x-5-1>=0 dando x>=3. Isolando um radical e quadrando duas vezes chegamos a
raiz3x-5=x-3
3x-5=(x-3)^2=x^2-6x+9
que gera
x^2-9x+14=0implies x=2 ou 7
Mas x>=3 só permite x=7, que verifica raiz7+2-raiz21-5=3-4=-1.

Passo 4

Para a equação III, x^6-9x^3+8=0: fazemos t=x^3 e obtemos o quadrático
t^2-9t+8=0implies (t-1)(t-8)=0
Logo t=1 ou t=8. Como x^3=1 x=1 real, e x^3=8 x=2 real (as outras raízes são complexas e não entram na soma de reais).

Passo 5

Somando as raízes reais de cada equação: para I temos 0+2=2, para II temos 7 e para III temos 1+2=3. Logo a soma total é 2+7+3=12.

Resposta

12

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