Considere as equações a seguir, identifique e resolva as exatas. Já as equações não exatas, apenas identifique-as.
y d x-\left(x+6 y^{2}\right) d y=0
y d x-\left(x+6 y^{2}\right) d y=0
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que eu identifique quais equações são exatas e resolva as que forem exatas. Para as equações não exatas, eu devo apenas identificá‑las.
Informações relevantes fornecidas: a única equação dada é .
Informações relevantes fornecidas: a única equação dada é
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão
Comparando com a equação dada, tenho
Passo 3
Agora eu explico o conceito de exatidão (passo didático): uma equação
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma forma prática (e muito usada na prova) para verificar exatidão, quando
e
têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa, é checar a igualdade
Se essa igualdade vale, a equação é exata; se não vale, a equação não é exata (pelo menos não sem um fator integrante).
Passo 4
Calculo as derivadas parciais necessárias:
Comparando,
Portanto, pela condição de exatidão, a equação não é exata.
Passo 5
Comentário didático adicional (útil para prova): quando a equação não é exata, um próximo passo comum é procurar um fator integrante
(função de
só, ou de
só) tal que
seja exata. Existem testes rápidos:
Aqui
. Calculo as duas expressões:
Como a segunda expressão depende somente de
, isso indica que existe um fator integrante que é função só de
. (Se você quisesse resolver a equação não exata, poderia seguir e achar
e então resolver a equação agora exata; mas o enunciado pediu que eu apenas identifique as não exatas.)
Resposta
A equação
não é exata.