Considere as equações a seguir, identifique e resolva as exatas. Já as equações não exatas, apenas identifique-as.
y d x-\left(x+6 y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y\,dx-\bigl(x+6y^{2}\bigr)\,dy=0
e pede que eu identifique quais equações são exatas e resolva as que forem exatas. Para as equações não exatas, eu devo apenas identificá‑las.
Informações relevantes fornecidas: a única equação dada é \;y\,dx-(x+6y^{2})\,dy=0\;.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
Comparando com a equação dada, tenho
M(x,y)=y,\qquad N(x,y)=-(x+6y^{2}).

Passo 3

Agora eu explico o conceito de exatidão (passo didático): uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial\psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial\psi}{\partial y}=N(x,y).
Uma forma prática (e muito usada na prova) para verificar exatidão, quando M e N têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa, é checar a igualdade
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade vale, a equação é exata; se não vale, a equação não é exata (pelo menos não sem um fator integrante).

Passo 4

Calculo as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\bigr)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-(x+6y^{2})\bigr)=-1.
Comparando,
\frac{\partial M}{\partial y}=1\neq -1=\frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto, pela condição de exatidão, a equação não é exata.

Passo 5

Comentário didático adicional (útil para prova): quando a equação não é exata, um próximo passo comum é procurar um fator integrante \mu (função de x só, ou de y só) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata. Existem testes rápidos:
\text{se }\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}\text{ depende só de }x,\text{ então existe }\mu(x);óã
\text{se }\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}\text{ depende só de }y,\text{ então existe }\mu(y).óã
Aqui \partial M/\partial y-\partial N/\partial x=2. Calculo as duas expressões:
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{2}{-(x+6y^{2})}=-\frac{2}{x+6y^{2}}\quad\text{(depende de \(x\) e \(y\))},
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{-2}{y}=-\frac{2}{y}\quad\text{(depende apenas de \(y\))}.
Como a segunda expressão depende somente de y, isso indica que existe um fator integrante que é função só de y. (Se você quisesse resolver a equação não exata, poderia seguir e achar \mu(y)=\exp\!\bigl(\int -2/y\,dy\bigr)=y^{-2} e então resolver a equação agora exata; mas o enunciado pediu que eu apenas identifique as não exatas.)

Resposta

A equação \;y\,dx-(x+6y^{2})\,dy=0\; não é exata.

Exercícios relacionados