Considere as equações a seguir, identifique e resolva as exatas. Já as equações não exatas, apenas identifique-as.
(2 x-3 y) d x+(2 y-3 x) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial
(2x-3y)\,dx + (2y-3x)\,dy = 0,
e pede que eu identifique quais equações são exatas e resolva as que forem exatas. Aqui só há uma equação para analisar. Informação relevante que temos: a parte multiplicando dx é M(x,y)=2x-3y e a parte multiplicando dy é N(x,y)=2y-3x. A tarefa agora é verificar se essa forma é exata; se for, encontrar a solução geral.

Passo 2

O que significa “exata” e como eu verifico?
Uma forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy é exata numa região se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática (necessária e suficiente em regiões simplesmente conexas) é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui \partial M/\partial y significa: derivada parcial de M em relação a y, tratando x como constante; e \partial N/\partial x é análogo.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais para testar a exatidão.
M(x,y)=2x-3y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial M}{\partial y}=-3.
N(x,y)=2y-3x \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial N}{\partial x}=-3.
Como \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=-3, a forma é exata. Então existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 4

Agora vou encontrar a função potencial \Phi(x,y). A técnica padrão é integrar M em relação a x e acrescentar uma função desconhecida de y.
Integrando M em x:
\Phi(x,y)=\int (2x-3y)\,dx = x^2 - 3xy + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (porque a derivada parcial em x de h(y) é zero).
Agora imponho que \Phi_y=N. Calculo \Phi_y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -3x + h'(y).
Igualando a N(x,y):
-3x + h'(y) = 2y - 3x.
Daí obtemos
h'(y)=2y.
Integro em y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^2 + C_1,
onde C_1 é constante. Posso absorver C_1 na constante final da solução implícita.
Logo
\Phi(x,y)=x^2 - 3xy + y^2 + C_1.

Passo 5

A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por \Phi(x,y)= constante. Assim a família de curvas solução é
x^2 - 3xy + y^2 = C,
onde C é constante arbitrária. Posso fazer uma verificação rápida: diferenciando implicitamente \Phi(x,y)=C obtemos
(2x-3y)\,dx + (2y-3x)\,dy = 0,
que é exatamente a equação dada, confirmando a solução.

Resposta

x^2-3xy+y^2=C

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