Considere as equações a seguir, identifique e resolva as exatas. Já as equações não exatas, apenas identifique-as.
Passo 1
O enunciado dá a forma diferencial
e pede que eu identifique quais equações são exatas e resolva as que forem exatas. Aqui só há uma equação para analisar. Informação relevante que temos: a parte multiplicando
é
e a parte multiplicando
é
. A tarefa agora é verificar se essa forma é exata; se for, encontrar a solução geral.
Passo 2
O que significa “exata” e como eu verifico?
Uma forma é exata numa região se existe uma função potencial
tal que
Uma forma
Uma condição prática (necessária e suficiente em regiões simplesmente conexas) é
Aqui
significa: derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante; e
é análogo.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais para testar a exatidão.
Como
, a forma é exata. Então existe
com
e
.
Passo 4
Agora vou encontrar a função potencial
. A técnica padrão é integrar
em relação a
e acrescentar uma função desconhecida de
.
Integrando
em
:
onde
é uma função arbitrária de
(porque a derivada parcial em
de
é zero).
Agora imponho que
. Calculo
:
Igualando a
:
Daí obtemos
Integro em
:
onde
é constante. Posso absorver
na constante final da solução implícita.
Logo
Passo 5
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por
constante. Assim a família de curvas solução é
onde
é constante arbitrária. Posso fazer uma verificação rápida: diferenciando implicitamente
obtemos
que é exatamente a equação dada, confirmando a solução.