A pergunta principal é: o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} existe e é igual a \,0? Se sim, a função é contínua em todo \mathbb{R}^2; se não, não é contínua em (0,0). Além disso, devemos verificar continuidade nos pontos onde (x,y)\neq(0,0).]
Passo 2
Continuidade para (x,y)\neq(0,0). Explico devagar: polinômios são funções contínuas, e a razão de duas funções contínuas é contínua sempre que o denominador não é zero. Aqui, para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}>0, então a expressão
\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo é contínua em cada ponto com (x,y)\neq(0,0). Portanto, não há problema de continuidade fora da origem.
Passo 3
Foco na origem (0,0). Para testar continuidade em (0,0) precisamos verificar se
Se esse limite for 0, então f é contínua em (0,0). Vou mostrar que o limite realmente é 0 usando uma desigualdade simples e uma prova \varepsilon-\delta.
Passo 4
Inequações básicas e uso da distância radial. Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Observação elementar: |x|\le r e |y|\le r. Usando isso,
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), a desigualdade mostra que o valor absoluto da razão fica limitado por 2r, que tende a 0. Assim a expressão tende a 0.
Passo 5
Prova \varepsilon-\delta formal (para fixar como fazer numa prova): seja \varepsilon>0. Escolha
\delta=\frac{\varepsilon}{2}.
Se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, pelo passo anterior,
Isso mostra que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=0. Portanto f é contínua em (0,0).
Passo 6
Conclusão final juntando os fatos: f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0) porque ali é um quociente de polinômios com denominador não nulo; e f é contínua em (0,0) porque o limite na origem é 0, igual ao valor dado f(0,0)=0. Logo f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.