Questão 4 (1 ponto) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0) \end{cases}
é contínua. Informações dadas relevantes:
\text{valor em }(0,0)\text{ é }f(0,0)=0.é
A pergunta principal é: o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} existe e é igual a \,0? Se sim, a função é contínua em todo \mathbb{R}^2; se não, não é contínua em (0,0). Além disso, devemos verificar continuidade nos pontos onde (x,y)\neq(0,0).]

Passo 2

Continuidade para (x,y)\neq(0,0). Explico devagar: polinômios são funções contínuas, e a razão de duas funções contínuas é contínua sempre que o denominador não é zero. Aqui, para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}>0, então a expressão
\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo é contínua em cada ponto com (x,y)\neq(0,0). Portanto, não há problema de continuidade fora da origem.

Passo 3

Foco na origem (0,0). Para testar continuidade em (0,0) precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=f(0,0)=0.
Se esse limite for 0, então f é contínua em (0,0). Vou mostrar que o limite realmente é 0 usando uma desigualdade simples e uma prova \varepsilon- \delta.

Passo 4

Inequações básicas e uso da distância radial. Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Observação elementar: |x|\le r e |y|\le r. Usando isso,
|x^{3}+y^{3}|\le |x|^{3}+|y|^{3}\le r^{3}+r^{3}=2r^{3}.
O denominador satisfaz x^{2}+y^{2}=r^{2}. Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\left|\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| \le \frac{2r^{3}}{r^{2}}=2r.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), a desigualdade mostra que o valor absoluto da razão fica limitado por 2r, que tende a 0. Assim a expressão tende a 0.

Passo 5

Prova \varepsilon- \delta formal (para fixar como fazer numa prova): seja \varepsilon>0. Escolha
\delta=\frac{\varepsilon}{2}.
Se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, pelo passo anterior,
\left|\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-0\right| =\left|\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}<2\delta=\varepsilon.
Isso mostra que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=0. Portanto f é contínua em (0,0).

Passo 6

Conclusão final juntando os fatos: f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0) porque ali é um quociente de polinômios com denominador não nulo; e f é contínua em (0,0) porque o limite na origem é 0, igual ao valor dado f(0,0)=0. Logo f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Sim. f é contínua em \mathbb{R}^{2}.

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