Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa e justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial:
2 \cdot \cos (2 x-y) d x-\cos (2 x-y) d y=0
Trata-se de uma equação diferencial exata cuja solução é uma curva do tipo
g(x, y)=\operatorname{sen}(5 x-y)+c

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
2\cos(2x-y)\,dx-\cos(2x-y)\,dy=0
e pede para analisar duas afirmativas:
  1. Se a equação é exata.
  2. Se a família de curvas solução é do tipo \sin(5x-y)+c.
Informações relevantes dadas: a forma diferencial com M(x,y)=2\cos(2x-y) multiplicando dx e N(x,y)=-\cos(2x-y) multiplicando dy. Não há outras condições iniciais; procuramos verificar exatidão e a forma geral da solução.

Passo 2

O que significa ser exata (explicação didática): uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial\varphi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática e muito usada é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
num domínio onde M e N são diferenciáveis. Essa igualdade vem do fato de que, para uma função \varphi com derivadas contínuas, \phi_{xy}=\phi_{yx}.

Passo 3

Aplique a condição prática ao nosso M e N. Primeiro identifique:
M(x,y)=2\cos(2x-y),\qquad N(x,y)=-\cos(2x-y).
Calcule \partial M/\partial y. Usa-se a regra da cadeia: para f(u)=\cos(u) e u=2x-y,
\frac{\partial}{\partial y}\cos(2x-y) = -\sin(2x-y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x-y) = -\sin(2x-y)\cdot(-1)=\sin(2x-y).
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=2\cdot\sin(2x-y).
Agora calcule \partial N/\partial x. Para N=-\cos(2x-y),
\frac{\partial}{\partial x}\big(-\cos(2x-y)\big) = -\big(-\sin(2x-y)\big)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x-y)= -(-\sin(2x-y))\cdot 2 = 2\sin(2x-y).
Concluímos que
\frac{\partial M}{\partial y}=2\sin(2x-y)=\frac{\partial N}{\partial x},
logo a condição de exatidão é satisfeita. Portanto a primeira afirmativa (que a equação é exata) é verdadeira.

Passo 4

Agora encontramos a função potencial \varphi(x,y) que gera a solução implícita. Partimos de
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=M(x,y)=2\cos(2x-y).
Integramos em relação a x, tratando y como constante. Fazemos a integral
\varphi(x,y)=\int 2\cos(2x-y)\,dx.
Para integrar, faça a substituição mental u=2x-y, então du=2\,dx, e a integral fica direta:
\int 2\cos(2x-y)\,dx = \int \cos(u)\,du = \sin(u)=\sin(2x-y).
Como a integração em x pode deixar uma função arbitrária de y, adicionamos h(y):
\varphi(x,y)=\sin(2x-y)+h(y).

Passo 5

Determine h(y) impondo que \phi_y=N(x,y). Calcule \phi_y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\sin(2x-y)+h'(y).
Novamente regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\sin(2x-y)=\cos(2x-y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x-y)=\cos(2x-y)\cdot(-1)=-\cos(2x-y).
Portanto
\phi_y=-\cos(2x-y)+h'(y).
Mas precisamos que \phi_y=N(x,y)=-\cos(2x-y). Igualando,
-\cos(2x-y)+h'(y)=-\cos(2x-y)\quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante. Tomando a constante como C, a solução implícita é
\varphi(x,y)=\sin(2x-y)+C.
Reescrevendo como família de curvas solução:
\sin(2x-y)=K
onde K é constante arbitrária (absorvendo o sinal de C conforme convier).

Passo 6

Verificação rápida e comparação com a afirmativa: a solução encontrada é \sin(2x-y)=K. A afirmativa do enunciado dizia que a solução é do tipo \sin(5x-y)+c. Compare os dois argumentos do seno: o correto tem coeficiente 2 multiplicando x, enquanto a afirmativa propõe coeficiente 5. São diferentes — não coincidem exceto em casos muito particulares de constantes que não resolvem a discrepância estrutural. Outra forma de ver que a afirmativa está errada: se fosse \varphi=\sin(5x-y) então \phi_x=5\cos(5x-y), que não é igual a M(x,y)=2\cos(2x-y), então não satisfaria o sistema que define a potencial.

Resposta

Verdadeira.
Falsa. A solução correta é \sin(2x-y)=K (com K constante).

Exercícios relacionados