Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa e justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial:
Trata-se de uma equação diferencial exata cuja solução é uma curva do tipo
Considere a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para analisar duas afirmativas:
- Se a equação é exata.
- Se a família de curvas solução é do tipo
.
Informações relevantes dadas: a forma diferencial com
multiplicando
e
multiplicando
. Não há outras condições iniciais; procuramos verificar exatidão e a forma geral da solução.
Passo 2
O que significa ser exata (explicação didática): uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática e muito usada é verificar se
num domínio onde
e
são diferenciáveis. Essa igualdade vem do fato de que, para uma função
com derivadas contínuas,
.
Passo 3
Aplique a condição prática ao nosso
e
. Primeiro identifique:
Calcule
. Usa-se a regra da cadeia: para
e
,
Portanto
Agora calcule
. Para
,
Concluímos que
logo a condição de exatidão é satisfeita. Portanto a primeira afirmativa (que a equação é exata) é verdadeira.
Passo 4
Agora encontramos a função potencial
que gera a solução implícita. Partimos de
Integramos em relação a
, tratando
como constante. Fazemos a integral
Para integrar, faça a substituição mental
, então
, e a integral fica direta:
Como a integração em
pode deixar uma função arbitrária de
, adicionamos
:
Passo 5
Determine
impondo que
. Calcule
:
Novamente regra da cadeia:
Portanto
Mas precisamos que
. Igualando,
Logo
é constante. Tomando a constante como
, a solução implícita é
Reescrevendo como família de curvas solução:
onde
é constante arbitrária (absorvendo o sinal de
conforme convier).
Passo 6
Verificação rápida e comparação com a afirmativa: a solução encontrada é
. A afirmativa do enunciado dizia que a solução é do tipo
. Compare os dois argumentos do seno: o correto tem coeficiente
multiplicando
, enquanto a afirmativa propõe coeficiente
. São diferentes — não coincidem exceto em casos muito particulares de constantes que não resolvem a discrepância estrutural. Outra forma de ver que a afirmativa está errada: se fosse
então
, que não é igual a
, então não satisfaria o sistema que define a potencial.
Resposta
Verdadeira.
Falsa. A solução correta é (com
constante).
Falsa. A solução correta é