Considere uma escada rolante cuja rampa tenha 20 m de comprimento, fazendo um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Quando a escada está em funcionamento, a esteira se move com velocidade igual a 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Com a escada rolante em funcionamento, qual o trabalho feito pela escada rolante sobre a mesma pessoa, para levá-la até o final da rampa quando a pessoa permanece parada em relação à esteira durante a subida?

Passo 1

O enunciado descreve uma escada rolante de comprimento da rampa 20\\ \mathrm{m} inclinada de 30^\circ em relação à horizontal. A esteira move-se a 0{,}5\\ \mathrm{m/s} e a pessoa fica parada em relação à esteira, subindo com velocidade constante. Precisamos calcular o trabalho realizado pela escada rolante sobre a pessoa. Para isso, vamos usar o Teorema Trabalho–Energia e lembrar que a energia cinética da pessoa não varia, pois sua velocidade é constante.

Passo 2

Como a velocidade da pessoa é constante (ela está parada em relação à esteira que sobe sem aceleração), a variação de energia cinética é nula:
\Delta K = 0.
Pelo Teorema Trabalho–Energia, o trabalho total W_{\text{total}} realizado sobre a pessoa é igual à variação de energia mecânica \Delta E_m = \Delta K + \Delta U. Aqui só há variação de energia potencial gravitacional.

Passo 3

A energia potencial gravitacional aumenta em
\Delta U = m\,g\,\Delta h,
onde \Delta h é a altura vertical que a pessoa ganha. Como a rampa tem comprimento L=20\\ \mathrm{m} e ângulo \theta=30^\circ,
\Delta h = L \,\sin\theta = 20\\ \mathrm{m}\times\sin(30^\circ)=20\times\tfrac12=10\\ \mathrm{m}.

Passo 4

O trabalho total sobre a pessoa é o que a escada rolante faz para vencer a gravidade. Logo,
W = \Delta U = m\,g\,\Delta h = m\,g\,(10\\ \mathrm{m}).
Tomando g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, isso vale numericamente
W = m\times9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\times10\\ \mathrm{m} = 98\,m\\ \mathrm{J}.

Resposta

W = m\,g\,\bigl(20\sin30^\circ\bigr) = 10\,m\,g\quad\bigl(\text{ou }98\,m\\ \mathrm{J}\bigr).

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