Considere uma escada rolante cuja rampa tenha 20 m de comprimento, fazendo um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Quando a escada está em funcionamento, a esteira se move com velocidade igual a 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Com a escada rolante em funcionamento, a mesma pessoa sobe por ela, mas desta vez caminhando apressadamente com velocidade de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação à esteira móvel. Qual o trabalho feito pela escada sobre a pessoa durante toda a subida?

Passo 1

O enunciado nos dá uma escada rolante de comprimento da rampa L=20\:\mathrm{m} inclinada de 30^\circ sobre a horizontal. A esteira move-se para cima com velocidade constante v_b=0,5\:\mathrm{m/s}. A pessoa sobe a escada caminhando a v_{\rm rel}=1,5\:\mathrm{m/s} em relação à esteira. Queremos o trabalho realizado pela escada (força de atrito estático da esteira sobre a pessoa) durante toda a subida, assumindo movimento uniforme.

Passo 2

Calcule a altura vertical vencida e a velocidade da pessoa em relação ao solo.
A altura vertical é
h = L\,\sin 30^\circ = 20\cdot\frac12 =10\:\mathrm{m}.
A velocidade da pessoa em relação ao solo é a soma das velocidades ao longo da rampa:
v = v_b + v_{\rm rel} = 0,5 +1,5 =2{,}0\:\mathrm{m/s}.

Passo 3

Em movimento uniforme a resultante das forças no sentido da rampa é zero, então a soma das potências das forças externas também é zero. As forças externas ao longo da rampa são:
  1. peso (componente ao longo da rampa)
  2. força de atrito que permite à pessoa “andar” sobre a escada F_w
  3. força de atrito da esteira sobre a pessoa F_b, que é justamente de onde virá o trabalho que queremos.
As potências correspondentes são:
P_g = -\bigl(mg\sin30^\circ\bigr)\,v = -\Bigl(\frac{mg}{2}\Bigr)\,2 = -\,mg,
P_w = F_w\,v_{\rm rel}, \qquad P_b = F_b\,v_b.
Logo, em regime estacionário
P_b + P_w + P_g = 0.

Passo 4

Também, na direção da rampa, o equilíbrio de forças exige
F_b + F_w - mg\sin30^\circ = 0 \;\Longrightarrow\; F_b + F_w = \frac{mg}{2}.
Das duas equações
\begin{cases} F_b\,0{,}5 + F_w\,1{,}5 = mg,\\\ F_b + F_w = \tfrac12\,mg, \end{cases}
resolvendo para F_b
F_b = -\frac{1}{4}\,mg.
O sinal negativo indica que a força de atrito da esteira sobre a pessoa age para baixo ao longo da rampa (ou seja, a esteira, ao mover-se mais devagar que o passo da pessoa, acaba “retardando” a subida).

Passo 5

O trabalho total feito pela escada (força F_b) é
W_b = F_b\;L = \Bigl(-\tfrac14\,mg\Bigr)\,20 = -5\,mg.

Resposta

W_{\text{escada}} = -5\,mg.
Em unidades do SI, se quisermos valor numérico usamos g\approx9{,}8\:\mathrm{m/s^2} e a massa da pessoa m. Por exemplo, para m=70\:\mathrm{kg} teríamos
W_{\text{escada}} = -5\cdot70\cdot9{,}8 \approx -3430\:\mathrm{J}.

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