Considere uma escada rolante cuja rampa tenha 20 m de comprimento, fazendo um ângulo de
com a horizontal. Quando a escada está em funcionamento, a esteira se move com velocidade igual a
.
Com a escada rolante em funcionamento, a mesma pessoa sobe por ela, mas desta vez caminhando apressadamente com velocidade de
em relação à esteira móvel. Qual o trabalho feito pela escada sobre a pessoa durante toda a subida?
Com a escada rolante em funcionamento, a mesma pessoa sobe por ela, mas desta vez caminhando apressadamente com velocidade de
Passo 1
O enunciado nos dá uma escada rolante de comprimento da rampa
inclinada de
sobre a horizontal. A esteira move-se para cima com velocidade constante
. A pessoa sobe a escada caminhando a
em relação à esteira. Queremos o trabalho realizado pela escada (força de atrito estático da esteira sobre a pessoa) durante toda a subida, assumindo movimento uniforme.
Passo 2
Calcule a altura vertical vencida e a velocidade da pessoa em relação ao solo.
A altura vertical é
A altura vertical é
A velocidade da pessoa em relação ao solo é a soma das velocidades ao longo da rampa:
Passo 3
Em movimento uniforme a resultante das forças no sentido da rampa é zero, então a soma das potências das forças externas também é zero. As forças externas ao longo da rampa são:
- peso (componente ao longo da rampa)
- força de atrito que permite à pessoa “andar” sobre a escada
- força de atrito da esteira sobre a pessoa
, que é justamente de onde virá o trabalho que queremos.
As potências correspondentes são:
Logo, em regime estacionário
Passo 4
Também, na direção da rampa, o equilíbrio de forças exige
Das duas equações
resolvendo para
dá
O sinal negativo indica que a força de atrito da esteira sobre a pessoa age para baixo ao longo da rampa (ou seja, a esteira, ao mover-se mais devagar que o passo da pessoa, acaba “retardando” a subida).
Passo 5
O trabalho total feito pela escada (força
) é
Resposta
Em unidades do SI, se quisermos valor numérico usamos
e a massa da pessoa
. Por exemplo, para
teríamos