Mostre que duas retas distintas saio paralelas se, e somente se, elas tem o mesmo vetor direção.

Passo 1

O enunciado pede para provar que duas retas distintas L_1 e L_2 em \mathbb{R}^2, definidas por
L_1=\{P+tv\mid t\in\mathbb{R}\},\quad L_2=\{Q+sw\mid s\in\mathbb{R}\},
são paralelas se, e somente se, seus vetores direção v e w são proporcionais. Vamos usar o conceito de independência linear e analisar a existência de interseção entre retas em forma paramétrica.

Passo 2

Suponha L_1 e L_2 são paralelas e distintas, ou seja, não existem t,s tais que P+tv=Q+sw. Se, por absurdo, v e w fossem linearmente independentes, eles formariam base de \mathbb{R}^2, permitindo escrever
Q-P=\alpha v+\beta w
para alguns escalares \alpha,\beta. Então
P+(-\alpha)v=Q+\beta w,
o que mostra um ponto comum entre as retas, contradizendo a hipótese. Logo v e w são linearmente dependentes, ou seja, existe \lambda\neq0 tal que
w=\lambda v.

Passo 3

Agora suponha que existe \lambda\neq0 com w=\lambda v. Então cada ponto de L_2 é
Q+sw=Q+(\lambda s)v,
logo
L_2=\{Q+t'v\mid t'\in\mathbb{R}\}.
Como L_1 e L_2 são distintas, Q\notin L_1 (isto é, Q-P\notin\mathrm{Span}\{v\}) e não há solução para P+tv=Q+sv. Assim as retas não se intersectam e são paralelas.

Resposta

Duas retas distintas são paralelas se, e somente se, seus vetores direção são proporcionais, isto é, existe \lambda\neq0 tal que
w=\lambda v.

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