Mostre que duas retas distintas saio paralelas se, e somente se, elas tem o mesmo vetor direção.
Passo 1
O enunciado pede para provar que duas retas distintas
e
em
, definidas por
são paralelas se, e somente se, seus vetores direção
e
são proporcionais. Vamos usar o conceito de independência linear e analisar a existência de interseção entre retas em forma paramétrica.
Passo 2
Suponha
e
são paralelas e distintas, ou seja, não existem
tais que
. Se, por absurdo,
e
fossem linearmente independentes, eles formariam base de
, permitindo escrever
para alguns escalares
. Então
o que mostra um ponto comum entre as retas, contradizendo a hipótese. Logo
e
são linearmente dependentes, ou seja, existe
tal que
Passo 3
Agora suponha que existe
com
. Então cada ponto de
é
logo
Como
e
são distintas,
(isto é,
) e não há solução para
. Assim as retas não se intersectam e são paralelas.
Resposta
Duas retas distintas são paralelas se, e somente se, seus vetores direção são proporcionais, isto é, existe
tal que