Considere o escoamento 2D com
sobre uma parede com uma protuberância semicircular de raio
. Determine a sustentação sobre a protuberância.
Passo 1
O enunciado dá um escoamento bidimensional uniforme de velocidade livre
sobre uma parede que tem uma protuberância semicircular de raio
. A tarefa é determinar a sustentação (força vertical) exercida pelo fluido sobre essa protuberância.
Informações relevantes fornecidas e hipóteses que vou usar (não peço nada ao usuário, apenas explico as suposições necessárias para resolver):
- O escoamento é estacionário, incompressível e ideal (inviscído e irrotacional) — ou seja, fluxo potencial.
- A protuberância é um semicírculo de raio
encostado na parede (apenas a semicircunferência superior está exposta ao fluido). - A velocidade de referência do escoamento longe do obstáculo é
. - A densidade do fluido é
.
O que é pedido: calcular a sustentação (força vertical) sobre a superfície semicircular (por unidade de comprimento no terceiro eixo, já que o problema é 2D).
Passo 2
Estratégia e motivo: em provas é prático usar o método das imagens para reduzir o problema do semicírculo sobre a parede a um problema conhecido no plano inteiro. Ao refletir a configuração no plano da parede obtém-se um círculo completo no plano inteiro. Para escoamento potencial sem geração de vorticidade adicional, a solução na metade superior (onde está o semicírculo físico) coincide com a metade superior do escoamento em torno de um cilindro circular completo de raio
submetido ao escoamento uniforme
. Portanto, a pressão no semicírculo é igual à pressão na metade superior do cilindro completo do problema clássico. Assim posso usar a solução clássica do escoamento potencial em torno de um cilindro circular para obter a distribuição de pressão e integrar a componente vertical dessa pressão sobre
(metade superior).
Observação física intuitiva: no cilindro completo sem circulação a força resultante total é zero (não há sustentação). Porém, a metade superior sozinha recebe uma força vertical que é anulada pela metade inferior; quando a metade inferior é substituída pela parede, essa força vertical da parcela superior permanece e corresponde à sustentação na protuberância.
Passo 3
Resumo da solução clássica para o cilindro (fórmulas necessárias e o que cada símbolo significa):
- Parametrização da superfície do cilindro de raio
: ponto na superfície dado por ângulo , com na frente (ponto de estagnação na linha de escoamento), variando até na parte superior traseira. Coordenadas: , . - Velocidade tangencial na superfície (solução do escoamento potencial sem circulação) é
onde
é a componente do vetor velocidade ao longo da tangente à circunferência, positiva no sentido convensional (a expressão de sinal só importa para o quadrado).
- A partir de Bernoulli, define-se o coeficiente de pressão:
Substituindo
obtemos
Aqui
é a pressão no ponto da superfície e
a pressão no infinito;
é a densidade.
Comentário didático rápido: a fórmula de Bernoulli (para fluxo potencial, estacionário) diz que
constante ao longo de uma linha de corrente; o coeficiente
compara a pressão local com a pressão dinâmica
.
Passo 4
Expressar a força vertical elementar devido à pressão sobre um elemento de superfície e montar a integral.
- Elemento de superfície (por unidade de comprimento na direção
): . - Vetor normal externo à superfície (apontando do corpo para o fluido) é
. A pressão age sobre a superfície no sentido do fluido, portanto a força elemental do fluido sobre o corpo é . (Sinal: pressão empurra a superfície para dentro do corpo.) - Componente vertical (sustentação) elemental:
- É conveniente trabalhar com pressão relativa ao ambiente
porque a contribuição de ao integrar sobre superfícies fechadas aparece depois como força de compressão global que não interessa para a força aerodinâmica líquida que consideramos. Assim a sustentação por unidade de comprimento é
Passo 5
Calcular a integral explicitamente passo a passo.
Substituindo :
Substituindo
Separe em duas integrais:
Calcule
. Uma forma rápida é usar identidade
e substituição
:
Usando
, o segundo termo vira
. Assim
Agora volte à integral original:
Portanto
O sinal positivo indica que a força está dirigida para cima (sustentação positiva).
Passo 6
Interpretação física e conclusão prática:
- A sustentação sobre a protuberância semicircular (por unidade de comprimento na direção do eixo
) vale
- Observações úteis para prova: apesar do cilindro completo ter resultante nula (sem circulação), a metade superior do cilindro sofre uma força vertical ascendente
que, no caso real do semicírculo acoplado à parede, não é compensada pela metade inferior (pois esta é substituída pela parede). Por isso a protuberância recebe essa sustentação do escoamento. - Importante: este resultado é válido no modelo ideal (escoamento potencial, sem separação). Em escoamentos reais com separação e viscosidade, o valor pode ser bem diferente.