Considere o escoamento 2D com \mathrm{U}_{\infty} sobre uma parede com uma protuberância semicircular de raio R. Determine a sustentação sobre a protuberância.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento bidimensional uniforme de velocidade livre U_{\infty} sobre uma parede que tem uma protuberância semicircular de raio R. A tarefa é determinar a sustentação (força vertical) exercida pelo fluido sobre essa protuberância.
Informações relevantes fornecidas e hipóteses que vou usar (não peço nada ao usuário, apenas explico as suposições necessárias para resolver):
  • O escoamento é estacionário, incompressível e ideal (inviscído e irrotacional) — ou seja, fluxo potencial.
  • A protuberância é um semicírculo de raio R encostado na parede (apenas a semicircunferência superior está exposta ao fluido).
  • A velocidade de referência do escoamento longe do obstáculo é U_{\infty}.
  • A densidade do fluido é \rho.
    O que é pedido: calcular a sustentação (força vertical) sobre a superfície semicircular (por unidade de comprimento no terceiro eixo, já que o problema é 2D).

Passo 2

Estratégia e motivo: em provas é prático usar o método das imagens para reduzir o problema do semicírculo sobre a parede a um problema conhecido no plano inteiro. Ao refletir a configuração no plano da parede obtém-se um círculo completo no plano inteiro. Para escoamento potencial sem geração de vorticidade adicional, a solução na metade superior (onde está o semicírculo físico) coincide com a metade superior do escoamento em torno de um cilindro circular completo de raio R submetido ao escoamento uniforme U_{\infty}. Portanto, a pressão no semicírculo é igual à pressão na metade superior do cilindro completo do problema clássico. Assim posso usar a solução clássica do escoamento potencial em torno de um cilindro circular para obter a distribuição de pressão e integrar a componente vertical dessa pressão sobre \theta\in[0,\pi] (metade superior).
Observação física intuitiva: no cilindro completo sem circulação a força resultante total é zero (não há sustentação). Porém, a metade superior sozinha recebe uma força vertical que é anulada pela metade inferior; quando a metade inferior é substituída pela parede, essa força vertical da parcela superior permanece e corresponde à sustentação na protuberância.

Passo 3

Resumo da solução clássica para o cilindro (fórmulas necessárias e o que cada símbolo significa):
  • Parametrização da superfície do cilindro de raio R: ponto na superfície dado por ângulo \theta, com \theta=0 na frente (ponto de estagnação na linha de escoamento), variando até \theta=\pi na parte superior traseira. Coordenadas: x=R\cos\theta, y=R\sin\theta.
  • Velocidade tangencial na superfície (solução do escoamento potencial sem circulação) é
v_{\theta}(\theta) = -2\,U_{\infty}\sin\theta,
onde v_{\theta} é a componente do vetor velocidade ao longo da tangente à circunferência, positiva no sentido convensional (a expressão de sinal só importa para o quadrado).
  • A partir de Bernoulli, define-se o coeficiente de pressão:
C_p(\theta)=\frac{p(\theta)-p_{\infty}}{\tfrac{1}{2}\rho U_{\infty}^2}=1-\left(\frac{v_{\theta}}{U_{\infty}}\right)^2.
Substituindo v_{\theta} obtemos
C_p(\theta)=1-4\sin^2\theta.
Aqui p(\theta) é a pressão no ponto da superfície e p_{\infty} a pressão no infinito; \rho é a densidade.
Comentário didático rápido: a fórmula de Bernoulli (para fluxo potencial, estacionário) diz que p+\tfrac{1}{2}\rho |\mathbf{v}|^2= constante ao longo de uma linha de corrente; o coeficiente C_p compara a pressão local com a pressão dinâmica \tfrac{1}{2}\rho U_{\infty}^2.

Passo 4

Expressar a força vertical elementar devido à pressão sobre um elemento de superfície e montar a integral.
  • Elemento de superfície (por unidade de comprimento na direção z): dS = R\,d\theta.
  • Vetor normal externo à superfície (apontando do corpo para o fluido) é \mathbf{n}=(\cos\theta,\sin\theta). A pressão age sobre a superfície no sentido do fluido, portanto a força elemental do fluido sobre o corpo é -p\,\mathbf{n}\,dS. (Sinal: pressão empurra a superfície para dentro do corpo.)
  • Componente vertical (sustentação) elemental:
dF_y = -p(\theta)\,\sin\theta\;R\,d\theta.
  • É conveniente trabalhar com pressão relativa ao ambiente \Delta p(\theta)=p(\theta)-p_{\infty}=\tfrac{1}{2}\rho U_{\infty}^2 C_p(\theta) porque a contribuição de p_{\infty} ao integrar sobre superfícies fechadas aparece depois como força de compressão global que não interessa para a força aerodinâmica líquida que consideramos. Assim a sustentação por unidade de comprimento é
L = \int_{0}^{\pi} \bigl[-\Delta p(\theta)\bigr]\,\sin\theta\;R\,d\theta = -\frac{R}{2}\rho U_{\infty}^2\int_{0}^{\pi} C_p(\theta)\sin\theta\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral explicitamente passo a passo.
Substituindo C_p(\theta)=1-4\sin^2\theta:
L = -\frac{R}{2}\rho U_{\infty}^2\int_{0}^{\pi}\bigl(1-4\sin^2\theta\bigr)\sin\theta\,d\theta.
Separe em duas integrais:
I_1=\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2, \qquad I_2=\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta.
Calcule I_2. Uma forma rápida é usar identidade \sin^3\theta=\sin\theta(1-\cos^2\theta) e substituição u=\cos\theta:
I_2=\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta - \int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^2\theta\,d\theta.
Usando u=\cos\theta\Rightarrow du=-\sin\theta\,d\theta, o segundo termo vira \int_{u=1}^{-1} u^2(-du)=\int_{-1}^{1}u^2\,du=\tfrac{2}{3}. Assim
I_2 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.
Agora volte à integral original:
\int_{0}^{\pi}\bigl(1-4\sin^2\theta\bigr)\sin\theta\,d\theta = I_1 - 4 I_2 = 2 - 4\cdot\frac{4}{3} = 2 - \frac{16}{3} = -\frac{10}{3}.
Portanto
L = -\frac{R}{2}\rho U_{\infty}^2\left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{5}{3}\,\rho U_{\infty}^2\,R.
O sinal positivo indica que a força está dirigida para cima (sustentação positiva).

Passo 6

Interpretação física e conclusão prática:
  • A sustentação sobre a protuberância semicircular (por unidade de comprimento na direção do eixo z) vale
L = \frac{5}{3}\,\rho\,U_{\infty}^2\,R.
  • Observações úteis para prova: apesar do cilindro completo ter resultante nula (sem circulação), a metade superior do cilindro sofre uma força vertical ascendente \tfrac{5}{3}\rho U_{\infty}^2 R que, no caso real do semicírculo acoplado à parede, não é compensada pela metade inferior (pois esta é substituída pela parede). Por isso a protuberância recebe essa sustentação do escoamento.
  • Importante: este resultado é válido no modelo ideal (escoamento potencial, sem separação). Em escoamentos reais com separação e viscosidade, o valor pode ser bem diferente.

Resposta

L=\frac{5}{3}\,\rho\,U_{\infty}^2\,R

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