Descreva o escoamento (potencial complexo, velocidade complexa e pontos de estagnação) do escoamento dado por um vórtice \Gamma próximo de um cilindro circular. A distância entre o vórtice e o centro do cilindro é igual a D.
Passo 1
Vou definir claramente o problema e as hipóteses geométricas (peguei a distância D do enunciado). Considere um cilindro circular rígido de raio a centrado na origem do plano complexo. Há um vórtice pontual de intensidade \Gamma colocado a uma distância D do centro do cilindro. Vou assumir que o vórtice está fora do cilindro, ou seja D>a (se o vórtice estivesse dentro do cilindro a configuração física muda e precisaríamos de outra abordagem). Para simplificar a escrita e tirar vantagem da simetria, coloco o vórtice no eixo real positivo:
z_0 = D \quad(\text{com } D>a).
O que o enunciado pede:
escrever o potencial complexo (complex potential) do escoamento;
escrever a velocidade complexa (derivada do potencial);
localizar os pontos de estagnação (onde a velocidade é zero) e descrevê-los.
Passo 2
Ideia geral e ferramenta que vou usar (explicação didática): para impor a condição de não-penetração na superfície do cilindro |z|=a utiliza-se o Teorema do Círculo de Milne–Thomson (método das imagens adaptado ao cilindro). Em palavras: se w(z) é o potencial complexo de um escoamento livre com singularidades (p.ex. um vórtice) e esse escoamento não é válido sobre o círculo, então a combinação
gera um potencial que satisfaz a condição de contorno impermeável \psi= constante sobre |z|=a. Vou aplicar isso ao potencial de um único vórtice pontual em z_0.
Passo 3
Potencial do vórtice isolado e aplicação do teorema (montagem): o potencial complexo de um vórtice pontual de intensidade \Gamma em z_0 (escolhendo a convenção usual) é
w(z) = -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z-z_0).
Pelo Teorema do Círculo, o potencial que inclui o efeito do cilindro é
Agora simplificamos a conjugação: \overline{\ln(\cdot)}=\ln(\overline{\cdot}) e \overline{-i} = i. Calculando a segunda parte obtemos (omito a constante aditiva irrelevante):
W(z)= -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z-z_0) \;+\; \frac{i\Gamma}{2\pi}\ln\bigl(a^2-\overline{z_0}\, z\bigr)\;-\;\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln z.
Comentário físico rápido sobre os termos:
o primeiro termo é o vórtice real em z_0;
o segundo termo corresponde, após fatoração, a um vórtice imagem de força -\Gamma localizado no ponto inverso a^2/\overline{z_0} (isto é a imagem que garante impermeabilidade);
o terceiro termo é um termo equivalente a um vórtice de força +\Gamma no centro z=0 (aparece ao manipular a segunda função logaritmo) — isso significa que a circulação ao redor do cilindro (contorno que envolve o cilindro mas não o vórtice externo) é \Gamma. A constante aditiva pode ser desprezada.
Para o nosso caso com z_0=D real, \overline{z_0}=D, e a forma acima vale com \overline{z_0}=D.
Passo 4
Velocidade complexa: lembrar a relação entre potencial e velocidade — a velocidade complexa (que chamarei de V(z)) é a derivada do potencial complexo:
V(z)=\frac{dW}{dz}=u(z)-i v(z).
Derivando explicitamente a expressão de W(z) obtém-se
\dfrac{\overline{z_0}}{a^2-\overline{z_0}\, z} vem da imagem (note que, quando escrito na forma de polo em z=a^2/\overline{z_0}, representa o efeito do vórtice imagem de força -\Gamma);
\dfrac{1}{z} é o campo associado ao vórtice no centro.
Observação prática: o fator multiplicativo -\dfrac{i\Gamma}{2\pi} pode ser tirado em comum; portanto as posições onde V(z)=0 (pontos de estagnação) são as mesmas soluções da equação sem esse fator, ou seja não dependem do valor numérico de \Gamma (apenas da geometria a e z_0). Isso é importante: a localização geométrica das estagnações é independente de \Gamma.
Passo 5
Equação para pontos de estagnação (passo a passo algébrico): pontos de estagnação são as raízes de V(z)=0. Assim basta resolver
Agora substituo z_0=D real (vórtice no eixo x) e multiplico ambos os lados pelo denominador comum z(z-z_0)(a^2-\overline{z_0}\, z)=z(z-D)(a^2-D z). Como os denominadores são diferentes de zero nas regiões de interesse, a multiplicação é legítima. Fazendo as contas (mostrar o produto e simplificar) obtemos uma equação polinomial simples:
- D z^2 + 2a^2 z - D a^2 = 0.
Reescrevendo:
D z^2 - 2a^2 z + D a^2 = 0.
Isto é um quadrático em z cujas raízes são as possíveis estagnações (podem ser complexas). Resolver o quadrático dá
Interpretação das raízes e localização geométrica: como assumimos D>a (vórtice fora do cilindro), o discriminante a^2 - D^2 é negativo. Escrevendo a raiz quadrada em forma imaginária obtemos
z = \frac{a^2}{D} \pm i\,\frac{a}{D}\sqrt{D^2-a^2}.
Portanto |z|=a: as duas raízes ficam exatamente sobre a superfície do cilindro |z|=a. Ou seja, as estagnações estão localizadas na superfície do cilindro (duas estagnações simétricas em relação ao eixo que liga centro e vórtice). Podemos escrever as posições em coordenadas polares como
z = a e^{\pm i\theta}\quad\text{com}\quad \cos\theta=\frac{a}{D},\quad \sin\theta=\frac{\sqrt{D^2-a^2}}{D}.
Portanto as duas estagnações estão nos ângulos \theta=\pm\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{a}{D}\right) medidas a partir do eixo que aponta para o vórtice (e estão na superfície do cilindro).
Comentário físico e verificação rápida: as posições não dependem de \Gamma (de fato cancelou da equação), como observado antes. Fica também claro que quando D\to a^+ (o vórtice se aproxima da superfície) as estagnações se aproximam do ponto mais próximo do vórtice na circunferência (\theta\to 0). Quando D\to\infty as estagnações tendem aos pontos diametralmente opostos no cilindro com \cos\theta\to 0 (isto é \theta\to\pi/2) — comportamento coerente.
Passo 7
Resumo prático / como usar isso numa prova (receita curta e clara):
posicione o cilindro de raio a na origem e o vórtice em z_0 (aqui tomei z_0=D no eixo real positivo);
escreva o potencial do vórtice e aplique o Teorema do Círculo (Milne–Thomson) para impor impermeabilidade: obterá a forma
W(z)= -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z-z_0) + \frac{i\Gamma}{2\pi}\ln\bigl(a^2-\overline{z_0}\, z\bigr) -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln z + \text{const.}
calcule a velocidade complexa V(z)=W'(z) e escreva explicitamente: