Descreva o escoamento (potencial complexo, velocidade complexa e pontos de estagnação) do escoamento dado por um vórtice \Gamma próximo de um cilindro circular. A distância entre o vórtice e o centro do cilindro é igual a D.

Passo 1

Vou definir claramente o problema e as hipóteses geométricas (peguei a distância D do enunciado). Considere um cilindro circular rígido de raio a centrado na origem do plano complexo. Há um vórtice pontual de intensidade \Gamma colocado a uma distância D do centro do cilindro. Vou assumir que o vórtice está fora do cilindro, ou seja D>a (se o vórtice estivesse dentro do cilindro a configuração física muda e precisaríamos de outra abordagem). Para simplificar a escrita e tirar vantagem da simetria, coloco o vórtice no eixo real positivo:
z_0 = D \quad(\text{com } D>a).
O que o enunciado pede:
  • escrever o potencial complexo (complex potential) do escoamento;
  • escrever a velocidade complexa (derivada do potencial);
  • localizar os pontos de estagnação (onde a velocidade é zero) e descrevê-los.

Passo 2

Ideia geral e ferramenta que vou usar (explicação didática): para impor a condição de não-penetração na superfície do cilindro |z|=a utiliza-se o Teorema do Círculo de Milne–Thomson (método das imagens adaptado ao cilindro). Em palavras: se w(z) é o potencial complexo de um escoamento livre com singularidades (p.ex. um vórtice) e esse escoamento não é válido sobre o círculo, então a combinação
W(z)=w(z)+\overline{w\!\left(\frac{a^2}{\overline{z}}\right)}
gera um potencial que satisfaz a condição de contorno impermeável \psi= constante sobre |z|=a. Vou aplicar isso ao potencial de um único vórtice pontual em z_0.

Passo 3

Potencial do vórtice isolado e aplicação do teorema (montagem): o potencial complexo de um vórtice pontual de intensidade \Gamma em z_0 (escolhendo a convenção usual) é
w(z) = -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z-z_0).
Pelo Teorema do Círculo, o potencial que inclui o efeito do cilindro é
W(z)= -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z-z_0) \;+\; \overline{\Biggl(-\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln\Bigl(\frac{a^2}{\overline{z}}-z_0\Bigr)\Biggr)}.
Agora simplificamos a conjugação: \overline{\ln(\cdot)}=\ln(\overline{\cdot}) e \overline{-i} = i. Calculando a segunda parte obtemos (omito a constante aditiva irrelevante):
W(z)= -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z-z_0) \;+\; \frac{i\Gamma}{2\pi}\ln\bigl(a^2-\overline{z_0}\, z\bigr)\;-\;\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln z.
Comentário físico rápido sobre os termos:
  • o primeiro termo é o vórtice real em z_0;
  • o segundo termo corresponde, após fatoração, a um vórtice imagem de força -\Gamma localizado no ponto inverso a^2/\overline{z_0} (isto é a imagem que garante impermeabilidade);
  • o terceiro termo é um termo equivalente a um vórtice de força +\Gamma no centro z=0 (aparece ao manipular a segunda função logaritmo) — isso significa que a circulação ao redor do cilindro (contorno que envolve o cilindro mas não o vórtice externo) é \Gamma. A constante aditiva pode ser desprezada.
Para o nosso caso com z_0=D real, \overline{z_0}=D, e a forma acima vale com \overline{z_0}=D.

Passo 4

Velocidade complexa: lembrar a relação entre potencial e velocidade — a velocidade complexa (que chamarei de V(z)) é a derivada do potencial complexo:
V(z)=\frac{dW}{dz}=u(z)-i v(z).
Derivando explicitamente a expressão de W(z) obtém-se
V(z)= -\frac{i\Gamma}{2\pi}\left(\frac{1}{z-z_0} + \frac{\overline{z_0}}{a^2-\overline{z_0}\, z} + \frac{1}{z}\right).
Explicando cada fração:
  • \dfrac{1}{z-z_0} é o campo do vórtice real;
  • \dfrac{\overline{z_0}}{a^2-\overline{z_0}\, z} vem da imagem (note que, quando escrito na forma de polo em z=a^2/\overline{z_0}, representa o efeito do vórtice imagem de força -\Gamma);
  • \dfrac{1}{z} é o campo associado ao vórtice no centro.
Observação prática: o fator multiplicativo -\dfrac{i\Gamma}{2\pi} pode ser tirado em comum; portanto as posições onde V(z)=0 (pontos de estagnação) são as mesmas soluções da equação sem esse fator, ou seja não dependem do valor numérico de \Gamma (apenas da geometria a e z_0). Isso é importante: a localização geométrica das estagnações é independente de \Gamma.

Passo 5

Equação para pontos de estagnação (passo a passo algébrico): pontos de estagnação são as raízes de V(z)=0. Assim basta resolver
\frac{1}{z-z_0} + \frac{\overline{z_0}}{a^2-\overline{z_0}\, z} + \frac{1}{z} = 0.
Agora substituo z_0=D real (vórtice no eixo x) e multiplico ambos os lados pelo denominador comum z(z-z_0)(a^2-\overline{z_0}\, z)=z(z-D)(a^2-D z). Como os denominadores são diferentes de zero nas regiões de interesse, a multiplicação é legítima. Fazendo as contas (mostrar o produto e simplificar) obtemos uma equação polinomial simples:
- D z^2 + 2a^2 z - D a^2 = 0.
Reescrevendo:
D z^2 - 2a^2 z + D a^2 = 0.
Isto é um quadrático em z cujas raízes são as possíveis estagnações (podem ser complexas). Resolver o quadrático dá
z = \frac{2a^2 \pm \sqrt{4a^4 - 4D^2 a^2}}{2D} = \frac{a^2 \pm a\sqrt{a^2 - D^2}}{D}.

Passo 6

Interpretação das raízes e localização geométrica: como assumimos D>a (vórtice fora do cilindro), o discriminante a^2 - D^2 é negativo. Escrevendo a raiz quadrada em forma imaginária obtemos
z = \frac{a^2}{D} \pm i\,\frac{a}{D}\sqrt{D^2-a^2}.
Calculemos o módulo dessas raízes:
|z|^2 = \left(\frac{a^2}{D}\right)^2 + \left(\frac{a}{D}\sqrt{D^2-a^2}\right)^2 = \frac{a^4 + a^2(D^2-a^2)}{D^2} = \frac{a^2 D^2}{D^2} = a^2.
Portanto |z|=a: as duas raízes ficam exatamente sobre a superfície do cilindro |z|=a. Ou seja, as estagnações estão localizadas na superfície do cilindro (duas estagnações simétricas em relação ao eixo que liga centro e vórtice). Podemos escrever as posições em coordenadas polares como
z = a e^{\pm i\theta}\quad\text{com}\quad \cos\theta=\frac{a}{D},\quad \sin\theta=\frac{\sqrt{D^2-a^2}}{D}.
Portanto as duas estagnações estão nos ângulos \theta=\pm\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{a}{D}\right) medidas a partir do eixo que aponta para o vórtice (e estão na superfície do cilindro).
Comentário físico e verificação rápida: as posições não dependem de \Gamma (de fato cancelou da equação), como observado antes. Fica também claro que quando D\to a^+ (o vórtice se aproxima da superfície) as estagnações se aproximam do ponto mais próximo do vórtice na circunferência ( \theta\to 0). Quando D\to\infty as estagnações tendem aos pontos diametralmente opostos no cilindro com \cos\theta\to 0 (isto é \theta\to\pi/2) — comportamento coerente.

Passo 7

Resumo prático / como usar isso numa prova (receita curta e clara):
  • posicione o cilindro de raio a na origem e o vórtice em z_0 (aqui tomei z_0=D no eixo real positivo);
  • escreva o potencial do vórtice e aplique o Teorema do Círculo (Milne–Thomson) para impor impermeabilidade: obterá a forma
W(z)= -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z-z_0) + \frac{i\Gamma}{2\pi}\ln\bigl(a^2-\overline{z_0}\, z\bigr) -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln z + \text{const.}
  • calcule a velocidade complexa V(z)=W'(z) e escreva explicitamente:
V(z)= -\frac{i\Gamma}{2\pi}\!\left(\frac{1}{z-z_0} + \frac{\overline{z_0}}{a^2-\overline{z_0}\, z} + \frac{1}{z}\right).
  • encontre as estagnações resolvendo V(z)=0. Para z_0=D real a equação reduz a um quadrático simples cujo solução dá as duas estagnações sobre |z|=a em
z=a e^{\pm i\operatorname{arccos}(a/D)}.

Resposta

Complex potential:
W(z)= -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z-z_0) + \frac{i\Gamma}{2\pi}\ln\bigl(a^2-\overline{z_0}\, z\bigr) -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln z + \text{const.}
Complex velocity:
V(z)=\frac{dW}{dz}= -\frac{i\Gamma}{2\pi}\!\left(\frac{1}{z-z_0} + \frac{\overline{z_0}}{a^2-\overline{z_0}\, z} + \frac{1}{z}\right).
Pontos de estagnação (para o caso z_0=D real, D>a): duas estagnações na superfície do cilindro
z = a e^{\pm i\theta},\qquad \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{a}{D}\right).

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