Considere um escoamento estacionário, incompressível e bidimensional através de um duto convergente que possui o campo de velocidade aproximado simples dado por:
\vec{V}=\left(U_{0}+b x\right) \vec{\imath}-b y \vec{\jmath}
Onde U_{0} é a velocidade horizontal em \mathrm{x}=0
Com base no campo de velocidade da questão 3 defina uma equação para a linha de corrente.
Solução. y=\frac{C}{\left(U_{o}+b x\right)}

Passo 1

O enunciado fornece um escoamento bidimensional, incompressível e estacionário cujo campo de velocidade é
\vec V=(U_{0}+b x)\,\vec\imath \;-\;b\,y\,\vec\jmath
e pede a equação da linha de corrente (streamline) correspondente.

Passo 2

Para um escoamento estacionário, a linha de corrente satisfaz
\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}
onde u e v são as componentes x e y da velocidade, respectivamente.

Passo 3

Aqui temos
u = U_{0}+b x \qquad\text{e}\qquad v = -b\,y
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\frac{dy}{dx}=\frac{-b\,y}{U_{0}+b x}.

Passo 4

Separe as variáveis y e x:
\frac{1}{y}\,dy = -\,\frac{b}{U_{0}+b x}\,dx.

Passo 5

Integre ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = -\int \frac{b}{U_{0}+b x}\,dx
\ln|y| = -\ln\bigl|U_{0}+b x\bigr| + \ln|C|
em que \ln|C| é a constante de integração.

Passo 6

Exponentiando e absorvendo sinais em C, obtém-se
y = \frac{C}{U_{0}+b x}.

Resposta

y = \frac{C}{U_{0}+b x}

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