Considere um escoamento de fluido entre duas placas paralelas imóveis, afastadas por 5 cm . A distribuição de velocidade para o escoamento é dada por:
u(y)=120\left(0,05 y-y^{2}\right)
Sendo a velocidade em \mathrm{m} / \mathrm{s} e y em m . O fluido é água a 10^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a magnitude da tensão de cisalhamento agindo sobre cada uma das placas e esquematize o escoamento ocorrendo entre as placas.

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Separação entre as placas: \,0,05\\ \mathrm{m} (ou seja, as placas em y=0 e y=0,05\\ \mathrm{m}).
    • Distribuição de velocidade (velocidade paralela às placas, função de y): u(y)=120\left(0,05\,y-y^{2}\right),com u em \mathrm{m/s} e y em \mathrm{m}.
    • Fluido: água a 10^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Calcular a magnitude da tensão de cisalhamento agindo sobre cada uma das placas.
    2. Esquematizar (descrever/interpretar) o escoamento entre as placas.
  • Informação física necessária (propriedade da água a 10^\circ\mathrm{C}):
    • Viscosidade dinâmica (valor tabelado): \mu = 1,307\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
      (Este valor é uma propriedade física padrão para água a 10^\circ\mathrm{C}.)

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula curta e prática).
  • Para um fluido newtoniano (água é newtoniana), a tensão de cisalhamento em uma superfície paralela ao escoamento é dada por a lei de Newton do atrito viscoso:
    \tau(y)=\mu\,\frac{du}{dy},
    onde:
    • \tau(y) é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{Pa}) exercida pela vizinhança do fluido numa linha horizontal à posição y;
    • \mu é a viscosidade dinâmica (em \mathrm{Pa\cdot s});
    • \dfrac{du}{dy} é a derivada da velocidade em relação a y (gradiente de velocidade) — unidade \mathrm{s^{-1}}.
  • A tensão de cisalhamento na placa (wall shear stress) é o valor de \tau avaliado exatamente na posição da parede. Ou seja, para a placa em y=0 usamos \tau(0)=\mu\,u'(0) e para a placa em y=0,05\\ \mathrm{m} usamos \tau(0,05)=\mu\,u'(0,05).

Passo 3

Simplificar a expressão de u(y) para facilitar a derivação.
  • Começo expandindo: u(y)=120\bigl(0,05\,y-y^{2}\bigr).Calculo 120\cdot0,05: 120\cdot0,05=6.Portanto: u(y)=6\,y-120\,y^{2}.(Unidades: u em \mathrm{m/s}, y em \mathrm{m}.)

Passo 4

Derivar u(y) em relação a y passo a passo.
  • Derivando termo a termo:
    • Derivada de 6\,y em relação a y é 6.
    • Derivada de -120\,y^{2} é -240\,y.
  • Logo: \frac{du}{dy}=6-240\,y.(Unidade: \mathrm{s^{-1}}.)

Passo 5

Avaliar o gradiente de velocidade na placa inferior ( y=0) e calcular a tensão de cisalhamento aí.
  • Avaliando a derivada em y=0: \left.\frac{du}{dy}\right|_{y=0}=6-240\cdot0=6.
  • Aplicando a lei de Newton: \tau(0)=\mu\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=0}=\mu\cdot6.
  • Substituindo \mu=1,307\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}: \tau(0)=1,307\times10^{-3}\cdot6=7,842\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Interpretação: o sinal positivo de \tau(0) (se considerado) indica que a componente tangencial da força do fluido na parede está na direção positiva de u. Como o enunciado pediu magnitude, teremos |\tau(0)|=7,842\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Avaliar o gradiente de velocidade na placa superior ( y=0,05\\ \mathrm{m}) e calcular a tensão de cisalhamento aí.
  • Avaliando a derivada em y=0,05:
    \left.\frac{du}{dy}\right|_{y=0,05}=6-240\cdot0,05.
    Calculo 240\cdot0,05:
    240\cdot0,05=12.
    Então:
    \left.\frac{du}{dy}\right|_{y=0,05}=6-12=-6.
  • Aplicando a lei de Newton:
    \tau(0,05)=\mu\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=0,05}=\mu\cdot(-6)=-7,842\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Magnitude: |\tau(0,05)|=7,842\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Observação física importante: as magnitudes são iguais e os sinais opostos. Isso é esperado pelo equilíbrio de forças (fluido exerce forças tangenciais opostas nas duas placas).

Passo 7

Esquematização do escoamento (descrição física e desenho mental que vale na prova).
  • Propriedades do perfil:
    • Nos dois limites \,y=0 e \,y=0,05\\ \mathrm{m} a velocidade é zero (condição de não deslizamento). Podemos verificar: u(0)=6\cdot0-120\cdot0^{2}=0,\qquad u(0,05)=6\cdot0,05-120\cdot(0,05)^{2}=0.
    • O perfil é parabólico (forma de um arco) com máximo no centro entre as placas. A posição do máximo obtém-se resolvendo du/dy=0: 6-240\,y=0\\ \Rightarrow\\ y=\frac{6}{240}=0,025\\ \mathrm{m},ou seja, exatamente no meio (simetria).
    • Valor máximo da velocidade no centro: u(0,025)=120\bigl(0,05\cdot0,025-(0,025)^{2}\bigr)=0,075\\ \mathrm{m/s}.
  • Como desenhar/esquematizar na prova (passo a passo simples):
    1. Traçar duas linhas horizontais paralelas separadas por 0,05\\ \mathrm{m}; rotular y=0 (placa inferior) e y=0,05\\ \mathrm{m} (placa superior).
    2. Desenhar entre elas uma curva parabólica que parte de u=0 em y=0, sobe até u=0,075\\ \mathrm{m/s} em y=0,025 e volta a u=0 em y=0,05. Indicar setas à direita ao longo da curva para mostrar a direção do escoamento.
    3. Nas paredes, desenhar pequenos vetores de força de cisalhamento: na placa inferior a força do fluido sobre a placa aponta para a direita (tensão +\tau), e na placa superior a força do fluido sobre a placa aponta para a esquerda (tensão -\tau). Anotar a magnitude |\tau|=7,842\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Dica motivacional: um rabisquinho desse tipo na prova vale muito — mostra que entendeu perfil, gradiente e sinal da tensão. Você já mandou bem só por ter chegado até aqui!

Resposta

|\tau(0)|=7,842\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}
|\tau(0,05\\ \mathrm{m})|=7,842\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}

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