Considere um escoamento de fluido entre duas placas paralelas imóveis, afastadas por 5 cm . A distribuição de velocidade para o escoamento é dada por:
u(y)=120\left(0,05 y-y^{2}\right)
Sendo a velocidade em \mathrm{m} / \mathrm{s} e y em m . O fluido é água a 10^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a magnitude da tensão de cisalhamento agindo sobre cada uma das placas e esquematize o escoamento ocorrendo entre as placas.
Passo 1
Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
Dados que peguei do enunciado:
Separação entre as placas: \,0,05\\ \mathrm{m} (ou seja, as placas em y=0 e y=0,05\\ \mathrm{m}).
Distribuição de velocidade (velocidade paralela às placas, função de y):u(y)=120\left(0,05\,y-y^{2}\right),com u em \mathrm{m/s} e y em \mathrm{m}.
Fluido: água a 10^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
Calcular a magnitude da tensão de cisalhamento agindo sobre cada uma das placas.
Esquematizar (descrever/interpretar) o escoamento entre as placas.
Informação física necessária (propriedade da água a 10^\circ\mathrm{C}):
Viscosidade dinâmica (valor tabelado): \mu = 1,307\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
(Este valor é uma propriedade física padrão para água a 10^\circ\mathrm{C}.)
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula curta e prática).
Para um fluido newtoniano (água é newtoniana), a tensão de cisalhamento em uma superfície paralela ao escoamento é dada por a lei de Newton do atrito viscoso:
\tau(y)=\mu\,\frac{du}{dy},
onde:
\tau(y) é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{Pa}) exercida pela vizinhança do fluido numa linha horizontal à posição y;
\mu é a viscosidade dinâmica (em \mathrm{Pa\cdot s});
\dfrac{du}{dy} é a derivada da velocidade em relação a y (gradiente de velocidade) — unidade \mathrm{s^{-1}}.
A tensão de cisalhamento na placa (wall shear stress) é o valor de \tau avaliado exatamente na posição da parede. Ou seja, para a placa em y=0 usamos \tau(0)=\mu\,u'(0) e para a placa em y=0,05\\ \mathrm{m} usamos \tau(0,05)=\mu\,u'(0,05).
Passo 3
Simplificar a expressão de u(y) para facilitar a derivação.
Começo expandindo:u(y)=120\bigl(0,05\,y-y^{2}\bigr).Calculo 120\cdot0,05:120\cdot0,05=6.Portanto:u(y)=6\,y-120\,y^{2}.(Unidades: u em \mathrm{m/s}, y em \mathrm{m}.)
Interpretação: o sinal positivo de \tau(0) (se considerado) indica que a componente tangencial da força do fluido na parede está na direção positiva de u. Como o enunciado pediu magnitude, teremos |\tau(0)|=7,842\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}.
Passo 6
Avaliar o gradiente de velocidade na placa superior (y=0,05\\ \mathrm{m}) e calcular a tensão de cisalhamento aí.
Observação física importante: as magnitudes são iguais e os sinais opostos. Isso é esperado pelo equilíbrio de forças (fluido exerce forças tangenciais opostas nas duas placas).
Passo 7
Esquematização do escoamento (descrição física e desenho mental que vale na prova).
Propriedades do perfil:
Nos dois limites \,y=0 e \,y=0,05\\ \mathrm{m} a velocidade é zero (condição de não deslizamento). Podemos verificar:u(0)=6\cdot0-120\cdot0^{2}=0,\qquad u(0,05)=6\cdot0,05-120\cdot(0,05)^{2}=0.
O perfil é parabólico (forma de um arco) com máximo no centro entre as placas. A posição do máximo obtém-se resolvendo du/dy=0:6-240\,y=0\\ \Rightarrow\\ y=\frac{6}{240}=0,025\\ \mathrm{m},ou seja, exatamente no meio (simetria).
Valor máximo da velocidade no centro:u(0,025)=120\bigl(0,05\cdot0,025-(0,025)^{2}\bigr)=0,075\\ \mathrm{m/s}.
Como desenhar/esquematizar na prova (passo a passo simples):
Traçar duas linhas horizontais paralelas separadas por 0,05\\ \mathrm{m}; rotular y=0 (placa inferior) e y=0,05\\ \mathrm{m} (placa superior).
Desenhar entre elas uma curva parabólica que parte de u=0 em y=0, sobe até u=0,075\\ \mathrm{m/s} em y=0,025 e volta a u=0 em y=0,05. Indicar setas à direita ao longo da curva para mostrar a direção do escoamento.
Nas paredes, desenhar pequenos vetores de força de cisalhamento: na placa inferior a força do fluido sobre a placa aponta para a direita (tensão +\tau), e na placa superior a força do fluido sobre a placa aponta para a esquerda (tensão -\tau). Anotar a magnitude |\tau|=7,842\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}.
Dica motivacional: um rabisquinho desse tipo na prova vale muito — mostra que entendeu perfil, gradiente e sinal da tensão. Você já mandou bem só por ter chegado até aqui!