Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-10)^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-10)^{n}}{n!}
e pede que se determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando.
Informações relevantes dadas:
O termo geral é \dfrac{(-10)^{n}}{n!}.
O sinal oscila por causa de (-10)^n.
O denominador contém n!, fatorial, que cresce muito rápido.
O que devemos responder: classificar a série entre as três possibilidades (absoluta, condicional ou divergente) e justificar a escolha.
Passo 2
Primeiro vou lembrar o que significam as classificações (explicação didática):
Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_n| converge.
Uma série é condicionalmente convergente se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge.
Se \sum a_n não converge, dizemos que a série é divergente.
Estratégia: testar a convergência da série dos módulos \sum |a_n|. Se essa convergir, a série original é automaticamente absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Para testar \sum |a_n| vou usar o critério da razão (teste de d’Alembert), que é simples e eficaz quando há fatoriais ou potências.
Passo 3
Aplico a definição de módulos ao termo geral. O termo geral da série dos módulos é
Como L=0<1, pelo teste da razão a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{10^{n}}{n!} converge.
Passo 5
Conclusão a partir do passo anterior: a série dos módulos converge, portanto a série original \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-10)^{n}}{n!} é absolutamente convergente. Lembrete: absoluta convergência implica convergência simples, então a série também converge (mas a classificação mais forte é “absoluta”).
Passo 6
Uma observação extra (útil para a prova): esta série é parcialmente a série de Taylor da exponencial. Sabe-se que