Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-10)^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-10)^{n}}{n!}
e pede que se determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando.
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é \dfrac{(-10)^{n}}{n!}.
  • O sinal oscila por causa de (-10)^n.
  • O denominador contém n!, fatorial, que cresce muito rápido.
O que devemos responder: classificar a série entre as três possibilidades (absoluta, condicional ou divergente) e justificar a escolha.

Passo 2

Primeiro vou lembrar o que significam as classificações (explicação didática):
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_n| converge.
  • Uma série é condicionalmente convergente se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge.
  • Se \sum a_n não converge, dizemos que a série é divergente.
Estratégia: testar a convergência da série dos módulos \sum |a_n|. Se essa convergir, a série original é automaticamente absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Para testar \sum |a_n| vou usar o critério da razão (teste de d’Alembert), que é simples e eficaz quando há fatoriais ou potências.

Passo 3

Aplico a definição de módulos ao termo geral. O termo geral da série dos módulos é
|a_n|=\left|\frac{(-10)^n}{n!}\right|=\frac{10^{n}}{n!}.
Vou aplicar o teste da razão: sejam b_n=\dfrac{10^n}{n!}. O teste da razão diz que, se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n},
então
  • se L<1, a série \sum b_n converge;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\dfrac{10^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{10^{n}}{n!}} =\frac{10^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{10^n} =\frac{10}{n+1}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{10}{n+1}=0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{10^{n}}{n!} converge.

Passo 5

Conclusão a partir do passo anterior: a série dos módulos converge, portanto a série original \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-10)^{n}}{n!} é absolutamente convergente. Lembrete: absoluta convergência implica convergência simples, então a série também converge (mas a classificação mais forte é “absoluta”).

Passo 6

Uma observação extra (útil para a prova): esta série é parcialmente a série de Taylor da exponencial. Sabe-se que
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Tomando x=-10 obtém-se
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-10)^{n}}{n!}=e^{-10}.
A série do enunciado começa em n=1, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-10)^{n}}{n!}=e^{-10}-1,
o que confirma diretamente que a série converge (e, como já mostramos, de modo absoluto).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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