Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e justificar. Informações dadas:
  • O termo geral é \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
  • A série é alternante por causa do fator (-1)^n.
    As perguntas são: (i) a série converge? (ii) converge absolutamente? Com base nessas respostas classificar como uma das três opções pedidas.

Passo 2

Explicar os conceitos que vamos usar (mini-aula rápida e prática).
  • Série absolutamente convergente: uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge (teorema: convergência absoluta implica convergência).
  • Série condicionalmente convergente: é quando \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge.
  • Série divergente: \sum a_n não converge.
    No nosso caso a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}. Para testar convergência absoluta, vou analisar \sum_{n=1}^\infty |a_n|=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Para testar convergência da série original, vou usar o teste da série alternante (teste de Leibniz).

Passo 3

Testando convergência absoluta: considere a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-1/2}.
Isto é uma p-série do tipo \sum n^{-p} com p=\tfrac{1}{2}. Lembrete: a p-série \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, logo a p-série diverge. Para justificar de forma elementar com o teste da integral: considerar a função f(x)=x^{-1/2} positiva e decrescente para x\ge1. Então
\int_{1}^{\infty}x^{-1/2}\,dx=\lim_{T\to\infty}\big[2x^{1/2}\big]_{1}^{T}=\lim_{T\to\infty}2\big(T^{1/2}-1\big)=\infty.
Pelo teste da integral, a série \sum n^{-1/2} diverge. Conclusão: a série dos módulos diverge, portanto a série não é absolutamente convergente.

Passo 4

Testando convergência da série alternante com o teste de Leibniz (série alternante).
O teste de Leibniz diz: se b_n\ge0, b_{n+1}\le b_n (sequência não crescente) e \lim_{n\to\infty}b_n=0, então a série \sum (-1)^n b_n converge. Aqui tomamos
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}.
Precisamos verificar duas coisas: (i) b_n é decrescente para n suficientemente grande; (ii) b_n\to 0.
(i) Monotonicidade: para todo n\ge1,
b_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n}}=b_n,
pois \sqrt{n+1}>\sqrt{n}. Assim b_n é estritamente decrescente.
(ii) Limite: claramente
\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0.
Portanto todas as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas, e a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
converge.

Passo 5

Juntando os resultados já provados:
  • A série converge pela condição do teste de Leibniz.
  • A série dos módulos diverge (p-série com p=\tfrac{1}{2}), então não é absolutamente convergente.
    Combinando: a série converge, mas não converge absolutamente.
Dica para prova/exame: sempre cheque primeiro a convergência absoluta (às vezes mata o problema rápido). Se a série não for absolutamente convergente e for alternante, verifique o teste de Leibniz (mostrar que os módulos vão a zero e são decrescentes).

Resposta

Condicionalmente convergente.

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