Considere o escoamento de um fluido entre duas placas paralelas, infinitas e distanciadas de uma altura h=0,2 m, com um escoamento totalmente desenvolvido. A placa superior movimenta-se com uma velocidade constante V=1 m / s e a placa inferior é estacionária, conforme ilustrado na figura. O escoamento é estacionário e bidimensional no plano x-y.
Determine uma expressão para a velocidade do fluido

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de escoamento entre duas placas paralelas, onde uma está parada e a outra se move com velocidade constante. O conteúdo envolve Mecânica dos Fluidos, especificamente o estudo de escoamento laminar entre placas. Para resolver, vamos precisar entender as equações de Navier-Stokes para escoamento totalmente desenvolvido e aplicar as condições de contorno corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o cenário: duas placas infinitas separadas por uma distância $ h = 0,2 , m $. A placa de cima está se movendo com velocidade $ V = 1 , m/s $ e a de baixo está parada. Como o escoamento é totalmente desenvolvido e bidimensional, só precisamos considerar a direção $ x $ (paralela às placas) e $ y $ (perpendicular às placas).

Passo 3

Como o escoamento é estacionário e totalmente desenvolvido, a velocidade só varia na direção $ y $ e não depende do tempo ou da direção $ x $. Assim, podemos simplificar as equações de Navier-Stokes. Vamos considerar que a única componente de velocidade é $ u(y) $ na direção $ x $.

Passo 4

A equação de Navier-Stokes para esse caso simplificado fica:
mu d^2 udy^2 = 0
Aqui, $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do fluido. A derivada segunda de $ u $ em relação a $ y $ é igual a zero, o que significa que a primeira derivada é uma constante.

Passo 5

Integrando a equação, temos:
dudy = C1
Integrando novamente:
u(y) = C1 y + C2
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 6

As condições de contorno são:
  1. Na placa inferior ($ y = 0 $): $ u(0) = 0 $
  2. Na placa superior ($ y = h $): $ u(h) = V $
Aplicando a primeira condição:
y = 0

Passo 7

Agora, aplicando a segunda condição:
V = C1 h + 0 Rightarrow C1 = Vh

Passo 8

Substituindo $ C_1 $ de volta na expressão de $ u(y) $:
C1

Passo 9

Então, a expressão para a velocidade do fluido em função de $ y $ é linear, aumentando de 0 na placa inferior até $ V $ na placa superior.

Resposta

A velocidade do fluido é dada por:
u(y) = Vh , y

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