Suponha um escoamento incompressível e estacionário no plano x-y, em que a componente da velocidade na direção x seja igual a
u=10+5 xx^2+y^2
Nestas condições, determine a componente da velocidade na direção y(v=v(x, y) ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um escoamento incompressível e estacionário no plano x-y. A gente já sabe a componente da velocidade na direção x, que é u = 10 + 5xx^2 + y^2. Nossa missão é descobrir qual é a componente da velocidade na direção y, que a gente vai chamar de v. Para resolver isso, vamos usar a condição de incompressibilidade dos fluidos, que diz que a divergência do campo de velocidades deve ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é escoamento incompressível e estacionário. “Incompressível” significa que a densidade do fluido não muda ao longo do tempo, e “estacionário” quer dizer que as propriedades do fluxo não mudam com o tempo. Matematicamente, isso se traduz na condição de que a divergência do campo de velocidades é zero:
nabla cdot v = 0
No nosso caso, como estamos no plano x-y, a divergência fica:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Então, vamos usar essa relação para encontrar v.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de u em relação a x:
u = 10 + 5xx^2 + y^2
A derivada de 10 em relação a x é zero. Para a segunda parte, vamos usar a regra do quociente:
partial upartial x = 0 + 5 cdot (x^2 + y^2) cdot 1 - x cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = 5 cdot (x^2 + y^2) - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = 5 cdot y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2
Então:
partial upartial x = 5(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, usando a condição de incompressibilidade:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Substituindo o que encontramos:
5(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 + partial vpartial y = 0
Isolando partial vpartial y:
partial vpartial y = -5(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2
Para encontrar v, vamos integrar essa expressão em relação a y:
v = -integral 5(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 dy + C(x)
Fazendo a integração:
v = -5 cdot ( yx^2 + y^2 ) + C(x)
Onde C(x) é uma função arbitrária de x. Mas como o escoamento é estacionário e sem fontes ou sumidouros, podemos assumir que C(x) = 0.

Resposta

A componente da velocidade na direção y é:
v = -5yx^2 + y^2

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