Suponha um escoamento incompressível e estacionário no plano
, em que a componente da velocidade na direção
seja igual a
Nestas condições, determine a componente da velocidade na direção
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um escoamento incompressível e estacionário no plano
. A gente já sabe a componente da velocidade na direção
, que é
. Nossa missão é descobrir qual é a componente da velocidade na direção
, que a gente vai chamar de
. Para resolver isso, vamos usar a condição de incompressibilidade dos fluidos, que diz que a divergência do campo de velocidades deve ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é escoamento incompressível e estacionário. “Incompressível” significa que a densidade do fluido não muda ao longo do tempo, e “estacionário” quer dizer que as propriedades do fluxo não mudam com o tempo. Matematicamente, isso se traduz na condição de que a divergência do campo de velocidades é zero:
No nosso caso, como estamos no plano
, a divergência fica:
Então, vamos usar essa relação para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
A derivada de 10 em relação a
é zero. Para a segunda parte, vamos usar a regra do quociente:
Então:
Passo 4
Agora, usando a condição de incompressibilidade:
Substituindo o que encontramos:
Isolando
:
Para encontrar
, vamos integrar essa expressão em relação a
:
Fazendo a integração:
Onde
é uma função arbitrária de
. Mas como o escoamento é estacionário e sem fontes ou sumidouros, podemos assumir que
.
Resposta
A componente da velocidade na direção
é: