Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas estacionárias, então determine: A distribuição de tensão de cisalhamento;

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Considere um escoamento laminar totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas infinitas e estacionárias. Determine como varia a tensão de cisalhamento ao longo do espaço entre as placas.”
Isso é um problema clássico de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente de escoamento de Poiseuille em canal plano. Para resolver, a gente vai usar a forma simplificada da equação de Navier–Stokes (momento) em regime estacionário e completamente desenvolvido, integrar para achar a velocidade e daí tirar a tensão de cisalhamento tau = mu,du/dy.

Passo 2

Teoria na prática:
  1. Num escoamento completamente desenvolvido em x, não há variação de velocidade em x e nem de v e w.
  2. A equação de momento em x se reduz a
0 = -dpdx + mu,d^2udy^2,
Aqui dpdx é constante (gradiente de pressão) e mu é a viscosidade.

Passo 3

Integrando uma vez em y, a gente obtém
mu,dudy = dpdx,y + C1,
Como é simétrico em relação ao meio (origem em y=0) a inclinação du/dy no centro tem que ser zero, logo em y=0 vale du/dy=0. Assim C1=0.

Passo 4

Então a tensão de cisalhamento, que é tauyx = mu,du/dy, fica simplesmente
boxedtauyx(y) ;=; mu,dudy ;=; dpdx;y,
Repare que isso é uma variação linear em y, zero no centro ( y=0) e cresce até o valor máximo nas placas.

Resposta

$\displaystyle \tau_{yx}(y) = \frac{dp}{dx};y,. $

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